Prawdopodobieństwo sukcesu przy rozkładzie dwumianowym

[glor]

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego zadania:

Zmienna losowa ma rozkład dwumianowy o parametrach 3 i p. Prawdopodobieństwo uzyskania co
najmniej jednego sukcesu wynosi 26/27. Oblicz p.

Póki co kombinuję w ten sposób:
\(\displaystyle{ \frac{26}{27} = {3 \choose 1} *p* (1-p)^{2}}\)
Nie wiem jednak jak postępować dalej (Być może zwykłe operacje na wielomianach - musiałbym sobie odkurzyć ten temat jeśli tak, jednak to \(\displaystyle{ \frac{26}{27}}\) zupełnie mi rozwala wyniki.)

[Premislav]

Masz na razie źle, tam ma być prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej jednego sukcesu, a nie dokładnie jednego. Czyli więcej niż zero sukcesów. Prawdopodobieństwo uzyskania \(\displaystyle{ 0}\) sukcesów w \(\displaystyle{ 3}\) próbach to \(\displaystyle{ (1-p)^3}\), więc prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej jednego sukcesu, to \(\displaystyle{ 1-(1-p)^3}\), czyli masz rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ 1-(1-p)^3=\frac{26}{27}}\)

[glor]

Dzięki, bardzo sprytne podejście z tym szukaniem reszty od zera sukcesów. Ugrzęzłem jednak dalej na rozwiązywaniu wielomianu \(\displaystyle{ 0 = p^{3} -3p ^{2} +3p- \frac{26}{27}}\)
Wg. Wolphram powinno to dawać p=2/3, ale nijak nie mogę do tego dojść.

[Premislav]

Prościej byłoby, gdybyś równość
\(\displaystyle{ 1-(1-p)^3=\frac{26}{27}}\)
zapisał inaczej, przenosząc na drugą stronę jedynkę a potem mnożąc stronami równanie przez \(\displaystyle{ -1}\):
\(\displaystyle{ (1-p)^3= \frac{1}{27}}\)
Jaka liczba podniesiona do 3. potęgi da \(\displaystyle{ \frac{1}{27}}\)?

Ale można też to doliczyć z tej postaci, którą masz. Można pomnożyć stronami to, co otrzymałeś przez \(\displaystyle{ 27}\) i zastosować twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych. Tylko jest to mniej wygodne.