Przedział ufności

[karolcia_23]

Pomoże ktoś z takim zadaniem:
Na podstawie próbki z rozkładu normalnego \(\displaystyle{ N(\mu,\sigma^2)}\) ze znaną wariancją \(\displaystyle{ \sigma^2}\)skonstruowano przedział ufności dla parametru\(\displaystyle{ \mu}\) na poziomie \(\displaystyle{ 0.95}\) i otrzymano wynik \(\displaystyle{ \left[ 80.40 , 119.60\right]}\)
a) Podaj przedział ufności dla parametru \(\displaystyle{ \mu}\) na poziomie \(\displaystyle{ 0.99}\), obliczony na podstawie tej samej próbki.
b) Podaj jednostronny przedział ufności postaci \(\displaystyle{ (-\infty, \overline{\mu}]}\) na poziomie \(\displaystyle{ 0.95}\), obliczony na podstawie tej samej próbki.

[squared]

Korzystamy z następującego przedziału ufności dla wartości oczekiwanej (model dla znanej wariancji i rozkładu normalnego):

\(\displaystyle{ x(n)-\frac{k\left( 1-\frac{\alpha}{2}\right)\sigma }{\sqrt{n}}<m<x(n)+\frac{k\left( 1-\frac{\alpha}{2}\right)\sigma }{\sqrt{n}}}\)

\(\displaystyle{ k\left( 1-\frac{\alpha}{2}\right)}\) - kwantyl rozkładu normalnego standardowego, \(\displaystyle{ 1-\alpha}\) poziom ufności.

My wiemy, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x(n)-\frac{k\left( 1-\frac{\alpha}{2}\right)\sigma }{\sqrt{n}}=80,40 \\
x(n)+\frac{k\left( 1-\frac{\alpha}{2}\right)\sigma } {\sqrt{n}}= 119,60\end{cases}}\)

Dodając stronami otrzymujesz, że
\(\displaystyle{ 2x(n)=200 \\
x(n)=100}\)

Odejmując stronami otrzymujesz:
\(\displaystyle{ -2\frac{k\left( 1-\frac{\alpha}{2}\right)\sigma } {\sqrt{n}}=-39,2 \\
\frac{\sigma } {\sqrt{n}}=\frac{19,6}{k\left( 1-\frac{\alpha}{2}\right)}}\)

U Ciebie: \(\displaystyle{ 1-\alpha=0,95 \rightarrow \alpha=0,05 \rightarrow 1-\frac{\alpha}{2}=0,975}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ \frac{\sigma } {\sqrt{n}}=\frac{19,6}{k\left( 0,975\right)}=\frac{19,6}{1,96}=10}\)

Zatem mamy wszystkie dane do skorzystania z początkowego wzoru, dla nowego poziomu ufności.