Statystyka dostateczna oraz estymator

[karolcia_23]

Hej pomoże, ktoś rozwiązać takie zadanie? Z góry dziękuje za pomoc

ZAD.1
Obserwujemy niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1,X_2,X_3,X_4,X_5}\),które pochodzą z dwóch różnych rozkładów wykładniczych: \(\displaystyle{ X_1,X_2,X_3 \sim Ex(3\theta)}\), zaś \(\displaystyle{ X_4,X_5 \sim Ex(\theta)}\), gdzie \(\displaystyle{ \theta}\) jest nieznanym parametrem.
a) Znajdź jednowymiarową statystykę dostateczną \(\displaystyle{ T(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5}\)).
b) Podaj estymator największej wiarygodności parametru \(\displaystyle{ \theta}\)

[Premislav]

a) gęstość rozkładu łącznego \(\displaystyle{ (X_1, X_2, X_3, X_4, X_5)}\) to
\(\displaystyle{ g(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=27 \theta^5 \exp\left[ \theta (-3x_1-3x_2-3x_3-x_4-x_5\right)\right]}\)
dla\(\displaystyle{ x_1 in [0,+infty) dots x_5 in [0,+infty)}\),
więc z tw. Neymana o faktoryzacji wynika, że statystyką dostateczną będzie np.
\(\displaystyle{ T(X_1, X_2,X_3,X_4,X_5)=3X_1+3X_2+3X_3+X_4+X_5}\)

b) to jest zupełny standard:
funkcja wiarygodności \(\displaystyle{ L(\theta)=27 \theta^5 \exp\left[ \theta (-3x_1-3x_2-3x_3-x_4-x_5\right) \right]}\), logarytm funkcji wiarygodności \(\displaystyle{ l(\theta)=\ln 27+5 \ln \theta-\theta(3x_1+3x_2+3x_3+x_4+x_5)}\),
\(\displaystyle{ l'(\theta)= \frac{5}{\theta}-(3x_1+3x_2+3x_3+x_4+x_5)}\),
mamy \(\displaystyle{ l'(\theta)=0 \Leftrightarrow \theta = \frac{5}{3x_1+3x_2+3x_3+x_4+x_5}}\),
ponadto oczywiście zawsze \(\displaystyle{ l''(\theta)<0}\), ponadto warunki regularności są spełnione, zatem statystyka
\(\displaystyle{ \hat{\theta}(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5)= \frac{5}{3X_1+3X_2+3X_3+X_4+X_5}}\) jest estymatorem największej wiarygodności parametru \(\displaystyle{ \theta.}\)-- 28 cze 2016, o 18:21 --Nie mogę domknąć tych kwadratowych nawiasów (a uznałem, że tak byłoby czytelniej niż z podwójnymi okrągłymi), ale już trudno, chyba wiadomo, o co chodzi.