Kilka zadań ze statystyki matematycznej

[karolcia_23]

Hej czy podpowie ktoś, jak rozwiązać, poniższe pytania lub chociaż powie jakie powinny być poprawne odpowiedzi?
ZAD.1
Obserwujemy niezależne zmienne losowe\(\displaystyle{ X_1,X_2,X_3,X_4,X_5}\),które pochodzą z dwóch różnych rozkładów wykładniczych: \(\displaystyle{ X_1,X_2,X_3 \sim Ex(3\theta)}\), zaś \(\displaystyle{ X_4,X_5 \sim Ex(\theta)}\), gdzie \(\displaystyle{ \theta}\) jest nieznanym parametrem.
a) Znajdź jednowymiarową statystykę dostateczną \(\displaystyle{ T(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5)}\).
b) Podaj estymator największej wiarygodności parametru \(\displaystyle{ \theta}\)

ZAD.2
Niech\(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym \(\displaystyle{ Bin(n,\theta)}\). Rozważamy estymator nieznanego parametru \(\displaystyle{ \theta}\) dany wzorem \(\displaystyle{ \hat{\theta}=\frac{X+1}{n+2}}\)
a)Oblicz obciążenie tego estymatora: \(\displaystyle{ E_{\theta}\hat{\theta}-\theta}\)
b)Oblicz wariancję tego estymatora; \(\displaystyle{ Var_{\theta}\hat{\theta}}\)
c)Oblicz błąd średniokwadratowy tego estymatora \(\displaystyle{ E_{\theta}(\hat{\theta}-\theta)^2}\).

ZAD.3
Niech \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) będzie próbką z rozkładu normalnego \(\displaystyle{ N(\mu,1)}\). Rozważamy zadanie estymacji wielkości \(\displaystyle{ \mu^2}\) gdzie \(\displaystyle{ \mu}\) jest nieznanym parametrem.
a) Oblicz obciążenie estymatora \(\displaystyle{ \widetilde{\mu^2}=(\overline{X})^2}\)
b) Zaproponuj estymator nieobciążony \(\displaystyle{ \widehat{\mu^2}}\)
c) Uzasadnij fakt, że \(\displaystyle{ \widetilde{\mu^2}}\) jest asymptotycznie normalny, tzn. \(\displaystyle{ \sqrt{n}(\widetilde{\mu^2}-\mu^2) \rightarrow N(0,\sigma^2)}\) i obliczyć asymptotyczną wariancję \(\displaystyle{ \sigma^2}\)

ZAD.4
Niech \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) będzie próbką z rozkładu normalnego \(\displaystyle{ N(0,\sigma^2)}\), gdzie \(\displaystyle{ \sigma>0}\) jest nieznanym parametrem. Rozważamy zadanie estymacji parametru \(\displaystyle{ \sigma}\).
a) Oblicz estymator największej wiarygodności \(\displaystyle{ \widehat{\sigma}}\)
b) Oblicz informację Fishera \(\displaystyle{ I_1(\sigma)}\) dla pojedynczej obserwacji \(\displaystyle{ X_1}\). (Wzór na inf. Fishera z drugą pochodną)

ZAD.5
Rozważamy ten sam model co w zad.4 \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) będzie próbką z rozkładu normalnego \(\displaystyle{ N(0,\sigma^2)}\), gdzie \(\displaystyle{ \sigma>0}\) jest nieznanym parametrem, wartość oczekiwana jest równa zero. Rozważamy zadanie testowania \(\displaystyle{ H_0:\sigma=1}\) przeciw \(\displaystyle{ H_1:\sigma<1}\).
a) Skonstruuj test jednostajnie najmocniejszy (TJNM) \(\displaystyle{ H_0}\) przeciw \(\displaystyle{ H_1}\) na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha}\) (można zastosować tw.Karlina-Rubina)
b) Załóżmy, że \(\displaystyle{ n=2}\) i zaobserwowaliśmy \(\displaystyle{ X_1=1, \quad X_2=0.5}\). Oblicz P-wartość tego testu.

ZAD.6
Na podstawie próbki z rozkładu normalnego \(\displaystyle{ N(\mu,\sigma^2)}\) ze znaną wariancją \(\displaystyle{ \sigma^2}\) skonstruowano przedział ufności dla parametru \(\displaystyle{ \mu}\) na poziomie \(\displaystyle{ 0.95}\) i otrzymano wynik \(\displaystyle{ \left[ 80.40 , 119.60\right]}\)
a) Podaj przedział ufności dla parametru \(\displaystyle{ \mu}\) na poziomie \(\displaystyle{ 0.99}\), obliczony na podstawie tej samej próbki.
b) Podaj jednostronny przedział ufności postaci \(\displaystyle{ (-\infty, \overline{\mu}]}\) na poziomie \(\displaystyle{ 0.95}\), obliczony na podstawie tej samej próbki.