statystyka dostateczna dla parametru

[gienia]

\(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) - próbka prosta z rozkładu normalnego N(m,s) z nieznaną wartością oczekiwaną \(\displaystyle{ m}\) i nieznaną wariancją \(\displaystyle{ s^2}\). Znaleźć statystykę dostateczną dla parametru \(\displaystyle{ t=(m,s^2)}\).

Z kryterium faktoryzacji:

\(\displaystyle{ f_t(x_1,...,x_n)=...=\left( \frac{1}{\sqrt{2\pi} s} \right)^n \exp\left[- \frac{1}{2s^2} \left( \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X} )^2+n\left(\overline{X}-m\right)^2 \right) \right]}\)

Odpowiedź jest, że \(\displaystyle{ T(X)=\left( \sum_{i=1}^{n} \left(X_i-\overline{X}\right)^2,\overline{X}\right)}\)

Dlaczego akurat tak? Nie mogłam inaczej sobie tego \(\displaystyle{ T(X)}\) wybrać? Na przykład \(\displaystyle{ T(X)=\left( \sum_{i=1}^{n} \left(X_i-\overline{X}\right)^2,\left(\overline{X}-m\right)^2\right)}\) albo \(\displaystyle{ T(X)=\left(\overline{X}, \sum_{i=1}^{n} \left(X_i-\overline{X}\right)^2\right)}\)?