Siemanko mam problem z zadaniem:
Dany jest ciąg niezależnych zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_{1}, ..., X_{50}}\) o jednakowym rozkładzie opisanym gęstością:
f(x) = \(\displaystyle{ \begin{cases} x + 1, x \in <-1, 0> \\ x, x \in (0, 1> \\ 0, wpp \end{cases}}\)
Wyznacz przybliżone prawdopodobieństwo P(\(\displaystyle{ X_{1} + ... + X_{50}}\) < -2).
Prosiłbym o pomoc przy rozwiązaniu zadania i wskazówek co do metodologii.
Dany jest ciąg niezależnych zmiennych
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Dany jest ciąg niezależnych zmiennych
Może by tak centralne twierdzenie graniczne?
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( X_1+\dots+X_{50}<-2\right)=\mathbf{P}\left( \frac{X_1+\dots X_{50}-50 \mathbf{E}X_1}{ \sqrt{50 Var X_1} }< \frac{-2-50\mathbf{E}X_1}{ \sqrt{50 Var X_1}} \right)\sim \Phi\left( \frac{-2-50\mathbf{E}X_1}{ \sqrt{50 Var X_1}}\right)}\)
z CTG (masz policzyć \(\displaystyle{ \mathbf{E}X_1}\) oraz \(\displaystyle{ Var X_1}\) - to będą odpowiednie całki).
\(\displaystyle{ \Phi}\) to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\).
Nie wiem tylko, czy \(\displaystyle{ 50}\) zmiennych losowych to nie trochę mało.
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( X_1+\dots+X_{50}<-2\right)=\mathbf{P}\left( \frac{X_1+\dots X_{50}-50 \mathbf{E}X_1}{ \sqrt{50 Var X_1} }< \frac{-2-50\mathbf{E}X_1}{ \sqrt{50 Var X_1}} \right)\sim \Phi\left( \frac{-2-50\mathbf{E}X_1}{ \sqrt{50 Var X_1}}\right)}\)
z CTG (masz policzyć \(\displaystyle{ \mathbf{E}X_1}\) oraz \(\displaystyle{ Var X_1}\) - to będą odpowiednie całki).
\(\displaystyle{ \Phi}\) to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\).
Nie wiem tylko, czy \(\displaystyle{ 50}\) zmiennych losowych to nie trochę mało.
-
pawdoh
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 8 wrz 2009, o 17:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Dany jest ciąg niezależnych zmiennych
A jesteś w stanie powiedzieć z czego te całki mam policzyć, bo kompletnie mi nic to nie mówi?
Na zajęciach liczyliśmy to w bardziej niezrozumiały sposób.
Na zajęciach liczyliśmy to w bardziej niezrozumiały sposób.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Dany jest ciąg niezależnych zmiennych
Miałeś chyba na myśli bardziej zrozumiały, nieprawdaż??
Ogólnie jeśli mamy zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie ciągłym z gęstością \(\displaystyle{ f_X}\), to
\(\displaystyle{ \mathbf{E}X=\int_{\RR}^{} xf_X(x)\mbox{d}x}\) (o ile istnieje, tj. o ile
\(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|<\infty}\)) i analogicznie jeśli istnieje drugi moment zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\), to
\(\displaystyle{ Var X= \int_{\RR}^{}\left( x-\mathbf{E}X\right) ^2 f_X(x)\mbox{d}x}\)
W tym przypadku masz
\(\displaystyle{ \mathbf{E}X_i= \int_{-1}^{0}x(x+1)\mbox{d}x+ \int_{0}^{1}x^2 \mbox{d}x= \frac{1}{6}}\) oraz
\(\displaystyle{ Var X_i= \int_{-1}^{0} \left( x-\frac 1 6\right)^2(x+1)\mbox{d}x+ \int_{0}^{1} \left( x-\frac 1 6\right)^2x\mbox{d}x}\)
dla \(\displaystyle{ i=1\dots 50}\)-- 17 cze 2016, o 15:09 --No i nie wiem, jak liczono u Ciebie na zajęciach, bo na nich nie byłem. Skoro mniej więcej kojarzysz jak się to odbywało, to czemu nie spróbujesz się do tego zabrać? Najwyżej poprawilibyśmy błędy.
Ogólnie jeśli mamy zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie ciągłym z gęstością \(\displaystyle{ f_X}\), to
\(\displaystyle{ \mathbf{E}X=\int_{\RR}^{} xf_X(x)\mbox{d}x}\) (o ile istnieje, tj. o ile
\(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|<\infty}\)) i analogicznie jeśli istnieje drugi moment zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\), to
\(\displaystyle{ Var X= \int_{\RR}^{}\left( x-\mathbf{E}X\right) ^2 f_X(x)\mbox{d}x}\)
W tym przypadku masz
\(\displaystyle{ \mathbf{E}X_i= \int_{-1}^{0}x(x+1)\mbox{d}x+ \int_{0}^{1}x^2 \mbox{d}x= \frac{1}{6}}\) oraz
\(\displaystyle{ Var X_i= \int_{-1}^{0} \left( x-\frac 1 6\right)^2(x+1)\mbox{d}x+ \int_{0}^{1} \left( x-\frac 1 6\right)^2x\mbox{d}x}\)
dla \(\displaystyle{ i=1\dots 50}\)-- 17 cze 2016, o 15:09 --No i nie wiem, jak liczono u Ciebie na zajęciach, bo na nich nie byłem. Skoro mniej więcej kojarzysz jak się to odbywało, to czemu nie spróbujesz się do tego zabrać? Najwyżej poprawilibyśmy błędy.