Zagadka statystyczna

[El pytacz]

Witam, mam takie oto zadanie do rozwiązania :

Na pewnym targowisku przeprowadzono badanie cen jabłek i gruszek. Średnia cena jabłek wynosiła 1,9 zł/kg, a przeciętny kwadrat odchyleń od średniej wynosił 0,1. Ceny gruszek charakteryzowały się rozkładem zbliżonym do normalnego i około 2/3 zmierzonych cen znajdowało się w przedziale od 2 do 2,50zł. Ceny których artykułów były bardziej zbieżne?

Podejrzewam że dla wprawnego oka nie jest to trudne zadanie, ale szczerze mówiąc sam nie wiem od której strony to w ogóle ugryźć. Prosiłbym o jakieś rady i wskazówki.

[Slup]

Rozumiem to zadanie następująco:
Niech \(\displaystyle{ \sigma_j}\) będzie średnim kwadratowym odchyleniem ceny jabłek od średniej ceny jabłek oraz \(\displaystyle{ \sigma_g}\) będzie średnim odchyleniem ceny gruszek od średniej ceny gruszki na tym targu. Które odchylenie \(\displaystyle{ \sigma_j}\), \(\displaystyle{ \sigma_g}\) jest mniejsze?
W przypadku jabłek masz podane, że \(\displaystyle{ \sigma^2_j=0,1}\). W przypadku gruszek wiesz, że rozkład cen gruszek jest:
1) normalny
2) \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) cen gruszek wpada w przedział \(\displaystyle{ [2,2,5]}\)
Na tej podstawie masz policzyć \(\displaystyle{ \sigma_g}\), a potem porównać to \(\displaystyle{ \sigma_j}\).
Tak ja bym to zinterpretował. Jeśli czegoś nie rozumiesz, to zapytaj.

[El pytacz]

Ja na początku myślałem, że trzeba policzyć jakieś obszary zmienności czy współczynniki zmienności, ale chyba nie możemy tego zrobić skoro nie mamy wartości średnich, dobrze myślę?

W przypadku gruszek rozumiem założenia zadania które wypisałeś, ale nie bardzo wiem jak je wykorzystać dalej żeby znaleźć odchylenie standardowe... Nie pamiętam już za dobrze rozkładu normalnego

[Slup]

Niestety nie masz podanej średniej ceny gruszek. Z tego, że ich rozkład jest normalny wynika, że miałoby sens przyjąć, że ich średnia cena jest dokładnie w środku podanego przedziału czyli wynosi:
\(\displaystyle{ \mu=\frac{2+2,5}{2}=2,25}\)
Stąd masz rozkład normalny \(\displaystyle{ X}\) o średniej \(\displaystyle{ 2,25}\) i nieznanej wariancji \(\displaystyle{ \sigma^2_g}\), ale wiesz dodatkowo, że:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(2\leq X\leq 2,5)=\frac{2}{3}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(-0,25\leq X-2,25\leq 0,25)=\frac{2}{3}}\)
a zatem:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(\frac{-0,25}{\sigma_g}\leq \frac{X-2,25}{\sigma_g}\leq \frac{0,25}{\sigma_g})=\frac{2}{3}}\)
Teraz rozkład \(\displaystyle{ \frac{X-2,25}{\sigma_g}}\) jest normalny o średniej \(\displaystyle{ 0}\) i wariancji \(\displaystyle{ 1}\) i z tablic(albo z internetu) dla tego rozkładu normalnego możesz odczytać, kiedy tamto prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\). Z tego policzysz sobie \(\displaystyle{ \sigma_g}\) i porównasz z \(\displaystyle{ \sigma_j}\).
Będziesz mógł też wtedy policzyć współczynnik zmienności.

[El pytacz]

Teraz rozkład \(\displaystyle{ \frac{X-2,25}{\sigma_g}}\) jest normalny o średniej \(\displaystyle{ 0}\) i wariancji \(\displaystyle{ 1}\)

Wiem że może to będzie głupie pytanie, ale skąd wiemy że teraz ten rozkład normalny ma taką średnią i wariancję?

Będziesz mógł też wtedy policzyć współczynnik zmienności.

Czyli dobrze myślałem na początku, tak? Dzielę poszczególne odchylenia standardowe przez średnie ceny i wyrażam w procentach?

Z tablic rozkładu normalnego odczytuję, że prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) dla \(\displaystyle{ z=0,43}\). Czyli ułamek \(\displaystyle{ \frac{0,25}{\sigma_g} = 0,43}\) ?

[Slup]

Ma średnią:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(\frac{X-2,25}{\sigma_g})=\frac{\mathbb{E}X-2,25}{\sigma_g}=\frac{2,25-2,25}{\sigma_g}=0}\)
bo założyliśmy, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}X=2,25}\)(tj. średnia jest środkiem przedziału \(\displaystyle{ [2,2,5])}\). Ma wariancję:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(\frac{X-2,25}{\sigma_g}-(\mathbb{E}(\frac{X-2,25}{\sigma_g}))^2)^2=\mathbb{E}(\frac{X-2,25}{\sigma_g}-0^2)^2=\mathbb{E}(\frac{X-2,25}{\sigma_g})^2=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{\mathbb{E}(X-2,25)^2}{\sigma_g^2}=\frac{\sigma_g^2}{\sigma^2_g}=1}\)
bo wariancję \(\displaystyle{ X}\) oznaczyliśmy przez kwadrat \(\displaystyle{ \sigma_g}\).

Jeżeli chodzi o to, czy masz wyliczyć współczynnik zmienności, to nie wiem. To jest raczej pytanie do układającego zadanie. Ja bym policzył, bo co mi szkodzi podzielić dwie liczby przez siebie.

[El pytacz]

OK, dziękuję nie wiem czy zauważyłeś moje trzecie pytanie bo dopisałem je chyba jak już pisałeś powyższego posta :

Z tablic rozkładu normalnego odczytuję, że prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) dla \(\displaystyle{ z=0,43}\). Czyli ułamek \(\displaystyle{ \frac{0,25}{\sigma_g} = 0,43}\) ?

[Slup]

... _dist.html

wybierz opcję between i wpisz od -0.96 do 0.96(rozwinięcia dziesiętne trzeba wpisywać z kropką)
wtedy wychodzi prawdopodobieństwo równe \(\displaystyle{ 0.6629...}\). W każdym razie blisko \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\).
Stąd:
\(\displaystyle{ 0,96\cong \frac{0,25}{\sigma_g}}\)

[El pytacz]

Ach, już wiem na czym polegał mój błąd. Brałem \(\displaystyle{ z}\) dla pola pod krzywą rozkładu normalnego równego \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), a przecież do tego jeszcze muszę dołożyć połowę pozostałego pola - mam nadzieję, że rozumiesz o co mi chodzi, bo może zamieszałem teraz w każdym razie to pole wynosi \(\displaystyle{ \frac{5}{6} \approx 0,833}\) i dla takiej wartości \(\displaystyle{ z \approx 0,96}\).

Bardzo Ci dziękuję za pomoc