Przedział ufności

[Chimera-1996]

Muszę oszacować wariancję. Mam taki przedział ufności:

\(\displaystyle{ P\left( \frac{(n-1)S^{2}_{n-1}}{\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}}} < \sigma^{2}< \frac{(n-1)S^{2}_{n-1}}{\chi^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}}} \right)= 0,9}\) .


Jak mam obliczyć chi-kwadrat? Jak korzystać z tablic? Czy to będzie tak, że w tablicy patrzę się na \(\displaystyle{ p=0,9}\) i \(\displaystyle{ r=29}\) czyli \(\displaystyle{ \chi^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}}= 39,0875}\) ?

[janusz47]

\(\displaystyle{ Pr\left( \frac{(n-1)S^{2}_{n-1}}{\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}, (n-1)}} < \sigma^{2}< \frac{(n-1)S^{2}_{n-1}}{\chi^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}, (n-1)}} \right)= 0,9 .}\)

Odczytujemy z tablic dwie wartości kwantyli rozkładu \(\displaystyle{ \chi^{2}}\):

Dla lewej strony nierówności \(\displaystyle{ \chi^{2}( 0,05, 29) = 42,557.}\)

Dla prawej strony nierówności \(\displaystyle{ \chi^{2}(0,995,29) = 13,121.}\)

[Chimera-1996]

U mnie \(\displaystyle{ n-1 = 29}\) i \(\displaystyle{ S_{n-1}^{2} = 0,058}\)

Czyli to będzie tak wyglądało?

\(\displaystyle{ \frac{29 \cdot 0,058}{42,557} < \sigma^{2}< \frac{29 \cdot 0,058}{\13,121} = 0,9}\)

[janusz47]

Tak, to będzie przedział \(\displaystyle{ \left [\frac{29\cdot 0,058}{43,557}, \frac{29\cdot 0,058}{3,121}\right]}\)

Liczba \(\displaystyle{ 0,9}\) tutaj jest niepotrzebna. Występuje ona w definicji przedziału ufności
jako wartość poziomu ufności \(\displaystyle{ 1-\alpha}\)

\(\displaystyle{ Pr(L \leq \sigma^{2}\leq P) = 1-\alpha.}\)

[Chimera-1996]

\(\displaystyle{ P\left( \frac{(n-1)S^{2}_{n-1}}{\chi^{2}_{1 - \frac{\alpha}{2}}} < \sigma^{2}< \frac{(n-1)S^{2}_{n-1}}{\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}}} \right)= 1 - \alpha}\)

To jest mój wzór z wykładu, więc ten przedział chyba powinien być na odwrót wg tego wzoru, czyli tak?:

\(\displaystyle{ \left [\frac{29\cdot 0,058}{3,121}, \frac{29\cdot 0,058}{43,557}\right]}\)

Jeszcze mam pytanie, co do tego wzoru z wykładu. Bo w mianowniku nie mam podane, że chi-kwadrat jest z (n-1) stopniami swobody. Tylko mam to napisane w liczniku. Dlaczego tak jest?

[janusz47]

Bo statystyka \(\displaystyle{ U= \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \chi^{2}}\) z \(\displaystyle{ (n-1)}\) stopniami swobody.

[Chimera-1996]

A w liczniku mam mnożyć \(\displaystyle{ (n-1) \cdot 0,058}\) skoro \(\displaystyle{ n-1}\) dotyczy rozkładu \(\displaystyle{ \chi^{2}}\) (zatem należy do mianownika) ?

[janusz47]

W liczniku

\(\displaystyle{ (n-1)=(30-1)=29}\)- dotyczy liczności próby pomniejszonej o 1.

Znajdowanie wartości kwantyli z tablic rozkładu \(\displaystyle{ \chi^{2}}\) dotyczy \(\displaystyle{ (n-1)= 29}\) stopni swobody. Masz poprawnie określony przedział ufności dla wariancji. Tylko oblicz wartości ułamków.

[Chimera-1996]

To ostateczny wynik będzie taki?:

\(\displaystyle{ \left [0,54; 0,039 \right]}\)

[janusz47]

Odwrotna kolejność.

[Chimera-1996]

Ale dlaczego odwrotna? Według wzoru, który podałam wyżej kolejność powinna być właśnie taka, jak napisałam

[janusz47]

Wartość kwantyla rozkładu \(\displaystyle{ \chi^{2}(0,05, 29) = 42,557}\) wstawiamy do lewego krańca przedziału.

Wartość kwantyla rozkładu \(\displaystyle{ \chi ^{2}(0,995.29)= 13,121}\) (nie 3,121) do prawego krańca przedziału.

[Chimera-1996]

Ale te kwantyle są chyba źle odczytane...
Powinno być chyba tak:

\(\displaystyle{ \chi^{2}(0,05, 29) = 17,7084}\)
\(\displaystyle{ \chi^{2}(0,95, 29) = 42,5569}\)

[janusz47]

Wartości kwantyli są odczytane poprawnie.
tylko odczytałem wartość kwantyla rzędu 0,995 a nie 0,95.

[Chimera-1996]

A ja dalej uważam, że kwantyle są źle odczytane. Wpisałam w programie Statistica w kalkulatorze podane wartości i wyszły mi takie wartości, jak napisałam powyżej.