Estymatory nieobciążony

karolcia_23 · Post autor: **karolcia_23** » 14 maja 2016, o 14:10

Hej, czy pomoże ktoś rozwiązać (krok po kroku jak trzeba robić), bo chciałabym to rozwiązać, a do końca nie wiem jak
ZAD.:
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym \(\displaystyle{ U(0,t)}\), gdzie \(\displaystyle{ t>0}\) jest nieznanym parametrem. Dla dowolnych, ustalonych \(\displaystyle{ a}\),\(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) znaleźć estymator nieobciążony parametru \(\displaystyle{ \theta = at^2+bt+c}\).

Premislav · Post autor: **Premislav** » 14 maja 2016, o 14:43

Skoro \(\displaystyle{ X \sim \mathcal{U}(0,t)}\), to masz
\(\displaystyle{ \mathbf{E}X= \frac{t}{2}}\) oraz
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[X^{2}]= \frac{1}{3}t^{2}}\)
Ponadto wartość oczekiwana jest liniowa.

Zatem możesz napisać \(\displaystyle{ at^{2}+bt+c=3a \frac{t^{2}}{3} +2b \frac{t}{2}+c}\). Poradzisz sobie dalej?

karolcia_23 · Post autor: **karolcia_23** » 14 maja 2016, o 15:05

A co mam dalej z tym zrobić?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 14 maja 2016, o 15:07

Niech \(\displaystyle{ Y=3aX^{2}+2bX+c}\). Ile to jest \(\displaystyle{ \mathbf{E}Y}\)?

karolcia_23 · Post autor: **karolcia_23** » 14 maja 2016, o 15:08

Bo jeszcze mam coś takiego zapisane, ale nie wiem
\(\displaystyle{ ET(x)=at^2+bt+c\\
T(X)=3ax^2+2bX+c\\
ET(x)=\theta}\)
I nie wiem co mi to daje i co to \(\displaystyle{ T}\)(obstawiam, że statystyka) ale skąd też ta pierwsza równość?-- 14 maja 2016, o 14:12 --\(\displaystyle{ EY= \int_{0}^{t} \frac{1}{t} (3aX^2+2bX+c)dx=at^2+bt+c=\theta}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 14 maja 2016, o 15:13

Nie mam pojęcia, skąd wzięto tę pierwszą równość. Być może z metody momentów, której nie znam.
Ja pokazałem tylko, jak o tym myślałem i na to samo wyszło, ale dla mnie przejście od pierwszej do drugiej linijki jest dość enigmatyczne.

-- 14 maja 2016, o 14:15 --

\(\displaystyle{ EY= \int_{0}^{t} \frac{1}{t} (3aX^2+2bX+c)dx=at^2+bt+c=\theta}\)

zgadza się, tylko taki szczegół, że w funkcji podcałkowej powinno być małe \(\displaystyle{ x}\), a nie wielkie.

karolcia_23 · Post autor: **karolcia_23** » 14 maja 2016, o 15:20

ok, a co dalej?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 14 maja 2016, o 15:21

Wiesz, co to jest estymator nieobciążony?

karolcia_23 · Post autor: **karolcia_23** » 14 maja 2016, o 15:23

\(\displaystyle{ E\hat{g}(X)=g(\theta)}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 14 maja 2016, o 15:25

No to masz taką statystykę, której wartością oczekiwaną jest \(\displaystyle{ \theta}\), co wyżej policzyłaś. Więc czym ona jest?

karolcia_23 · Post autor: **karolcia_23** » 14 maja 2016, o 15:29

Czyli naszym estymatorem nieobciążonym jest \(\displaystyle{ Y=3aX^2+2bX+c}\)?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 14 maja 2016, o 15:29

Zgadza się.

karolcia_23 · Post autor: **karolcia_23** » 14 maja 2016, o 15:33

Dziękuje za pomoc i to zawsze trzeba tak kombinować, czy jest jakiś sposób ?