Statystyka - przewidywanie.

sokol_93 · Post autor: **sokol_93** » 26 kwie 2016, o 14:53

Dzień dobry, chciałbym Was prosić o pomoc, gdyż w czwartek mam kolokwium ze statystyki matematycznej i nie mogę poradzić sobie z jednym zadaniem.

Dla przyrostów dziennych danej populacji obejmującej 10.000 tuczników obliczono następujące parametry: µ=550 g; sigma=40 g. Podaj przewidywaną liczbę tuczników, których przyrosty powinny mieścić się w granicach od 470 do 630 g.

squared · Post autor: **squared** » 27 kwie 2016, o 18:19

Hmmm jak rozumiem przyjmujemy, że populacja ma rozkład normalny? Wtedy chyba tak się to robi. Sam jestem ciekawy, czy dobrze myślę.

\(\displaystyle{ \xi \sim N(550,40), f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}40}e^{\frac{-(x-550)^2}{2\cdot40^2}}}\)
\(\displaystyle{ P\left\{ 470<\xi<630\right\}=F(630)-F(470)= \int_{470}^{630}\frac{1}{\sqrt{2\pi}40}e^{\frac{-(x-550)^2}{2\cdot40^2}}dx \approx 0,9545\\
0,9545 \cdot 10 000=9545}\)

Wyszłoby, że w tym przedziale przewidywana ilość wynosi \(\displaystyle{ 9545}\).

Ale to tylko moje przypuszczenia, że o to chodziło.

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 27 kwie 2016, o 18:37

\(\displaystyle{ T_{n}\sim N(550g, \ \ 40g), n=1,2,...,10000.}\)

\(\displaystyle{ Pr(470 \leq T_{n}\leq 630) = Pr(\left( \frac{470-550}{40}\leq \frac{T_{n}-550}{40}\leq \frac{630-550}{40}\right) = Pr\left(- 2\leq Z_{n}\leq 2 \right) =
\phi(2)-\phi(-2)= \phi(2) -1 +\phi(2)= 2\phi(2)-1\approx 0, 9545.}\)

Przewidywana liczba tuczników \(\displaystyle{ N \approx 10000\cdot 0,9545 = 9545.}\)

Tablica dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub na przykład obliczenie w programie R:

> P=pnorm(2)-pnorm(-2)
> P
[1] 0.9544997
> P = 2*pnorm(2)-1
> P
[1] 0.9544997

Kol. Jezarek - granice całki zmieniamy podstawieniem (standaryzacją) \(\displaystyle{ t =\frac{x -550}{40},\ \ dt = \frac{1}{40}dx.}\)

squared · Post autor: **squared** » 27 kwie 2016, o 21:53

Moje rozwiązane (całka) po podstawieniu (standaryzacji) sprowadza się do podanego przez Pana sposobu. Teoretycznie dobrze rozwiązałem, praktycznie źle, bo tylko rozkład standardowy jest stablicowany, to fakt. Nie mniej jednak ma Pan ma błąd.
\(\displaystyle{ Pr(470 \leq T_{n}\leq 630) = Pr(\left( \frac{470-550}{40}\leq \frac{T_{n}-550}{40}\leq \frac{630-550}{40}\right) = \red Pr\left(-2\leq Z_{n}\leq 2\right) = \phi(2)-\phi(-2)= \phi(2) -1 +\phi(2)= 2\phi(2)-1\approx 2\cdot 0,97725 -1=0.9545}\)

I jeśli się nie mylę... otrzymujemy, to co ja wyliczyłem.