Rozkład wykładniczy

[Ojcanausz]

Witam mam takie dwa zadania, nie mam pojęcia jak się za nie zabrać. Help me

1.W sali znajduje się \(\displaystyle{ k}\) maszyn. Czas do awarii pojedynczej maszyny dany jest rozkładem wykładniczym o średniej \(\displaystyle{ \pi}\) . Jaki jest rozkład prawdopodobieństwa czasu do awarii
a pierwszej maszyny?
b ostatniej maszyny?

2. Oblicz funkcję gęstości dla zmiennej losowej
\(\displaystyle{ Z=X-Y}\) , jeśli \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są zmiennymi losowymi pochodzącymi z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej, odpowiednio \(\displaystyle{ \mu}\) i \(\displaystyle{ \lambda}\).

[Premislav]

1. Jeżeli zmienne losowe odzwierciedlające czasy awarii różnych maszyn są niezależne, to mając zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{1},...X_{k}}\), w celu znalezienia rozkładu czasu do awarii pierwszej maszyny szukasz rozkładu zmiennej losowej
\(\displaystyle{ Y=\min\left\{ X_{1},...X_{k}\right\}=X_{1:k}}\), a w celu znalezienia rozkładu czasu awarii ostatniej maszyny szukasz rozkładu zmiennej losowej
\(\displaystyle{ Z=\max\left\{ X_{1},...X_{k}\right\}=X_{k:k}}\)

W obydwu przypadkach można do tego podejść od d. strony (tj. od strony dystrybuanty ).
Mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y \le y)=1-\mathbf{P}(Y>y)=1-\mathbf{P}(X_{1}>y,X_{2}>y,...X_{k}>y)=\bigg[\text{ niezależność }\bigg]=\\=1- \prod_{i=1}^{k}\mathbf{P}(X_{i}>y)=1- \prod_{i=1}^{k}(1-\mathbf{P}(X_{i} \le y))}\)

oraz
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Z \le y)=\mathbf{P}(X_{1} \le y,...X_{k} \le y)=\bigg[\text{ niezależność }\bigg]= \prod_{i=1}^{k}\mathbf{P}(X_{i} \le y)}\).

Wyjaśnienie: żeby minimum spośród jakichś wartości było większe od jakiejś liczby, potrzeba i wystarcza, by wszystkie te wartości były większe. Podobnie żeby maksimum z jakichś wartości było mniejsze od jakiejś liczby, potrzeba i wystarcza, aby wszystkie one były mniejsze.

No i dalej liczenie, rozkład wykładniczy powinieneś znać, zabierając się do tego zadania. Jeśli ma średnią \(\displaystyle{ \pi}\), to parametr \(\displaystyle{ \lambda=\frac{1}{\pi}}\). No a gęstość (oczywiście tylko dla rozkładu ciągłego ona istnieje) znajdujesz, różniczkując dystrybuantę.

-- 19 kwi 2016, o 19:13 --

2. Słyszałeś może o splocie rozkładów?

[Ojcanausz]

Dzieki za pierwsze zadanie dalem rade sobie z nim. A co do drugiego to nie slyszałem o splocie. Masz jakies linki albo ksiazke, gdzie moglbym przysowic wiedze na ten temat ?

[Premislav]

O splocie rozkładów jest trochę we "Wstępie do teorii prawdopodobieństwa" Jakubowskiego i Sztencla oraz w znakomitej, choć raczej trudnej książce Billingsleya "Prawdopodobieństwo i miara", tę drugą (wydanie II) mam akurat na biurku, więc mogę powiedzieć (czy tez napisać :p), że jest to w rozdziale czwartym (Zmienne losowe i wartości oczekiwane), na str. 264.

Ale skoro tego nie znasz, to może oczekiwano innego rozwiązania? Można to również zaatakować od strony funkcji charakterystycznych albo funkcji tworzących momenty, tylko że wcale nie jestem przekonany, czy będzie to łatwiejsze.

[Ojcanausz]

Nie została narzucona mi metoda jaką mam rozwiązać to zadanie.
To metodą splotu liczy się sumy, więc muszę zrobić z \(\displaystyle{ Y_{2}=-Y}\) i będę miał wtedy \(\displaystyle{ Z=X+Y_{2}}\)
\(\displaystyle{ Y_{2}=\lambda e^{\lambda y_{2}}}\)
a następnie obliczyć całkę z \(\displaystyle{ f(z)=(f_{x}*y_{2})(z)}\) i to będzię rozwiązanie ?

[Premislav]

To metodą splotu liczy się sumy, więc muszę zrobić z \(\displaystyle{ Y_{2}=-Y}\) i będę miał wtedy \(\displaystyle{ Z=X+Y_{2}}\)

Zgadza się.

\(\displaystyle{ Y_{2}=\lambda e^{\lambda y_{2}}}\)

Co masz na myśli?
Nic mi tu nie pasuje, choć może jakiś konflikt oznaczeń wystąpił: po pierwsze jeżeli zmienna losowa o rozkładzie
wykładniczym ma średnią \(\displaystyle{ \lambda,}\) to ma gęstość \(\displaystyle{ f(y)= \frac{1}{\lambda}e^{-\frac y \lambda}}\) (dla \(\displaystyle{ y \ge 0}\)),a nie \(\displaystyle{ \lambda e^{\lambda y}}\). Wtedy \(\displaystyle{ Y_{2}=-Y}\) ma następującą gęstość:
\(\displaystyle{ f_{Y_{2}}(y)= \begin{cases} \frac{1}{\lambda}e^{ \frac{y}{\lambda} } \text{ dla }y \le 0 \\ 0 \text{ dla }y > 0\end{cases}}\). W celu policzenia splotu wygodniej będzie to zapisać jako
\(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda}e ^{ \frac{y}{\lambda} }\mathbf{1}_{(-\infty,0]}(y)}\)

a następnie obliczyć całkę z \(\displaystyle{ f(z)=(f_{x}*y_{2})(z)}\) i to będzie rozwiązanie ?

No tak, tylko jak wyżej napisałem, coś tam mieszasz.