Estymatory-kilka zadań

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
karolcia_23
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 445
Rejestracja: 19 sie 2013, o 17:07
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 99 razy

Estymatory-kilka zadań

Post autor: karolcia_23 »

Hej, czy ktoś potrafi powiedzieć jak powinnam zrobić, takie zadania. Chodzi mi o podpowiedzi, wskazówki, a także jeśli ktoś rozwiąże to aby podzielił się jaki jest wynik, bo chcę sama rozwiązać a nie wiem jak do tego podejść.

ZAD.1
Niech \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) będzie próbą prostą z rozkładu jednostajnego \(\displaystyle{ U(2\theta _1, \theta _2)}\). Znaleźć estymatory największej wiarygodności parametru \(\displaystyle{ \theta = (\theta _1, \theta _2)}\).

ZAD.2
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym \(\displaystyle{ U(0,t)}\), gdzie \(\displaystyle{ t>0}\) jest nieznanym parametrem. Dla dowolnych, ustalonych \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ c}\) znaleźć estymator nieobciążony parametru \(\displaystyle{ \theta = at^2+bt+c}\).

ZAD.3
Sprawdzić czy \(\displaystyle{ s=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2 }}\) jest nieobciążonym estymatorem odchylenia standardowego oraz czy estymator jest mocno zgodny.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Estymatory-kilka zadań

Post autor: Premislav »

Zadanie pierwsze:
funkcją wiarygodności jest \(\displaystyle{ L(\theta_{1}, \theta_{2})= \frac{1}{(\theta_{2}-2\theta_{1})^{n}} \prod_{i=1}^{n}\mathbf{1}_{(2\theta_{1},\theta_{2})}(x_{i})}\)


Zauważ, że:
zakładając, że \(\displaystyle{ \theta_{2}>2\theta_{1}}\) (inaczej to wszystko jest zerem) widzimy, że im mniejszą wartość ma \(\displaystyle{ \theta_{2}-2\theta_{1}}\), tym większy jest ten czynnik przed iloczynem indykatorów. No a iloczyn indykatorów jest albo zerem (gdy któraś z \(\displaystyle{ x_{i}}\) nie należy do przedziału), albo jedynką.
Aby iloczyn tych indykatorów był jedynką (bo łatwo widać, że zero to nie jest największa wartość, więc ten przypadek nas interesuje), wszystkie \(\displaystyle{ x_{i}}\) muszą być mniejsze od \(\displaystyle{ \theta_{2}}\), a zatem
\(\displaystyle{ X_{n:n}<\theta_{2}}\). Ponadto analogicznie \(\displaystyle{ X_{1:n}>2 \theta_{1}}\)
Zatem skoro chcieliśmy w celu maksymalizacji \(\displaystyle{ L}\) jak najbardziej zmniejszyć (z zachowaniem dodatniości!) \(\displaystyle{ \theta_{2}-2\theta_{1}}\), to ENW dla \(\displaystyle{ (\theta_{1};\theta_{2})}\) jest \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}X_{1:n},X_{n:n} \right)}\)
Trochę trickowe rozwiązanie, ale wierzę, że dobre.

Zadanie drugie: wyznacz estymator największej wiarygodności parametru t, a potem skorzystaj z twierdzenia (dowodu nie pamiętam, ale powinien być w książce Hogga lub w książce Zielińskiego itd.):
jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ciągłą, a statystyka \(\displaystyle{ \underline X}\) jest ENW parametru t, to \(\displaystyle{ f(\underline X)}\) jest ENW parametru \(\displaystyle{ f(t).}\)
Treść masz tutaj (na dole strony), żebyś nie myślała, że coś zmyślam.
... no%C5%9Bci

Zadanie trzecie: no, żeby sprawdzić, czy jest estymatorem nieobciążonym, chyba trzeba policzyć najpierw wartość oczekiwaną tego. Albo jakoś kombinować, bo nie widzę ładnych obliczeń. Z nierówności Jensena masz, że dla \(\displaystyle{ f}\) wklęsłej jest \(\displaystyle{ \mathbf{E}f(Y) \le f(\mathbf{E}Y)}\) i pomyśl, kiedy zachodzi równość (a jeśli nie wymyślisz, to poszukaj). Bo zauważ, że dziadostwo pod pierwiastkiem jest estymatorem nieobciążonym wariancji, zatem żeby pierwiastek z tego był estymatorem nieobciążonym odchylenia standardowego, to w powyższej nierówności dla \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x}}\) musiałaby zajść równość.
ODPOWIEDZ