Estymator i parametr

[karolcia_23]

Hej mam pytani, bo nie wiem jak mam sprawdzić czy estymator jest obciążony to mam
\(\displaystyle{ E\hat{g}(\mathbb{X})=g(\theta)}\) ale jak mam sprawdzić dla jakiego \(\displaystyle{ \alpha}\) estymator np. \(\displaystyle{ \hat{g}(X_1,...,X_n)=\alpha \cdot X_{n:n}}\) to na początek wyliczam \(\displaystyle{ E\hat{g}}\) i dostaję pewne równanie i nie wiem do czego mam je przyrównać aby wyliczyć \(\displaystyle{ \alpha}\) czy do estymatora czy do wartości oczekiwanej.

[Premislav]

Estymator nieobciążony parametru \(\displaystyle{ \theta}\) to taka statystyka \(\displaystyle{ g(\undelrine X)}\), że
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[g(\undelrine X)]=\theta}\). No to bierzesz tę statystykę, którą tam masz, wychodzi Ci jej wartość oczekiwana cos tam razy \(\displaystyle{ \theta}\), \(\displaystyle{ \theta}\)+coś tam itd.
i to przyrównujesz do \(\displaystyle{ \theta}\). Równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą to poziom piątej klasy szkoły podstawowej, nie powinno Cię deprymować to, że tu są jakieś tety i nowe oznaczenia. To jest tak samo łatwe, albo i nawet relatywnie dużo łatwiejsze, bo teraz umiesz znacznie więcej niż w podstawówce.

[karolcia_23]

Liczyć umiem tylko nie jestem pewna do czego przyrównujemy czy do wartości oczekiwanej czy do \(\displaystyle{ \theta}\) bo akurat w tym przykładzie jest do tej wartości a w innych do wartości oczekiwanej.
Przykład
1. W tym przypadku patrzymy czy estymator jest nieobciążony
\(\displaystyle{ X_1,..., X_n\sim E(\lambda)\\
\hat{g}(X_1,..., X_n)=\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n}X_i^2}\) po obliczeniach mam
\(\displaystyle{ E\hat{g}(\mathbb{X})=\frac{1}{\lambda ^2}}\)

2. Tu trzeba wyliczyć \(\displaystyle{ \alpha}\) aby estymator parametru \(\displaystyle{ \theta}\) był nie obciążony
\(\displaystyle{ X_1,..., X_n\sim U(0,\theta)\\
\hat{g}(X_1,..., X_n)=\alpha X_{n:n}\\
E\hat{g}(\mathbb{X})=\alpha \cdot \frac{n}{n+1} \cdot \theta}\)
i teraz tu podstawiają, że \(\displaystyle{ \alpha \cdot \frac{n}{n+1} \cdot \theta = \theta}\)
i wychodzi, że \(\displaystyle{ \alpha=\frac{n+1}{n}}\)
a przecież \(\displaystyle{ EX=\frac{\theta}{2}}\)

I teraz nie wiem czy \(\displaystyle{ g(\theta)}\) jest równe temu parametrowi dla którego estymator ma być nieobciążony czy ma być równy wartości oczekiwanej.

[Premislav]

1. Obliczenia poprawne. A czego estymatorem ma być ta suma? Wariancji tego rozkładu? Jeśli tak, to jest to estymator nieobciążony.

2. Ale znajdujesz tu estymator nieobciążony parametru \(\displaystyle{ \theta}\), a nie wartości oczekiwanej.
Informacja na temat tego, dla jakiego parametru powinien być to estymator nieobciążony (lub dla jakiego mamy sprawdzić, czy jest) powinna być zawarta w treści zadania, wtedy wystarczy umieć czytać. A jeśli masz próbę losową \(\displaystyle{ X_{1}...X_{n}}\) itd o rozkładzie z gęstościa \(\displaystyle{ f(x, \theta)}\) lub funkcją zadajacą prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ p(x,\theta)}\) i masz znaleźć estymator nieobciążony, ale nie podano czego, to domyślnie chodzi o estymator nieobciążony parametru \(\displaystyle{ \theta}\), ale generalnie tak być nie powinno. Polecenie "znajdź estymator nieobciążony" bez podania, czego estymatorem ma być szukana statystyka jest wadliwe i kropka, to prawie jak napisać "rozwiąż równanie" i nie podać tego równania.

[karolcia_23]

W pierwszym przykładzie była taka treść:
Niech \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) będzie próbą losową prostą z rozkładu wykładniczego \(\displaystyle{ E(\lambda)}\). Pokaż, że estymator \(\displaystyle{ \hat{g}(X_1,...X_n)=\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n}X_i^2}\) jest nieobciążonym i mocno zgodnym estymatorem wariancji \(\displaystyle{ E(\lambda)}\).

Drugi przykład:
Niech \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) będzie próbą prostą z rozkładu \(\displaystyle{ U(0,\theta)}\). Dla jakiego \(\displaystyle{ \alpha}\) estymator \(\displaystyle{ \hat{g}(X_1,...,X_n)=\alpha X_{n:n}}\) parametru \(\displaystyle{ \theta}\) jest estymatorem nieobciążonym.

Czyli teraz jak jeszcze raz przeczytałam to w pierwszym przypadku mam że \(\displaystyle{ g(\theta)}\) jest równy wariancji a w drugim przypadku parametrowi \(\displaystyle{ \theta}\), czy dobrze zrozumiałam?

[Premislav]

Zgadza się.-- 12 kwi 2016, o 14:28 --Aha, mocna zgodność to pewnie zbieżność prawie na pewno.