Estymator największej wiarygodności

[karolcia_23]

Hej mam pytanie czy zawsze tak jest w ENW, że aby obliczyć \(\displaystyle{ l(\theta)}\) to logarytmujemy, czy jest inna zależność?
Przykład
\(\displaystyle{ X\sim Geom(\theta) \\
L(\theta)= \prod_{i=1}^{n}\theta (1-\theta)^{x_i-1}\\
l(\theta)=lnL(\theta)}\)
A kolejne pytanie czy zawsze trzeba liczyć \(\displaystyle{ l(\theta)}\), czy wystarczy \(\displaystyle{ L(\theta)}\) i tam następnie liczyć pochodne po każdej zmiennej jeśli \(\displaystyle{ \theta=(a,b)}\)

[Premislav]

Nie masz żadnego obowiązku liczenia \(\displaystyle{ l(\theta)}\), można poprzestać na analizie \(\displaystyle{ L(\theta)}\) - po prostu często jest tak, że przy rozkładzie łącznym pojawiają się jakieś okropne iloczyny, niefajne wykładniki, brzydkie czynniki, przez które mnożymy itd. a dzięki zlogarytmowaniu tego wszystkiego się pozbywamy lub przynajmniej znacząco upraszczamy obliczenia.
Np. uważam, że w przypadku \(\displaystyle{ X\sim Geom(\theta)}\) wygodniej jest użyć \(\displaystyle{ l(\theta)}\). Taka jest definicja, \(\displaystyle{ l(\theta)=\ln L(\theta)}\).

[karolcia_23]

Czyli, jak mam jakieś iloczyny lub potęgi itd. to stosuje definicję, że \(\displaystyle{ l(\theta)=lnL(\theta)}\), zgadza się?

[Premislav]

Tak. Wtedy łatwiej będzie policzyć pochodne, a ponieważ logarytm jest funkcją rosnącą, to maksimum \(\displaystyle{ l(\theta)}\) jest przyjmowane dla tych samych argumentów, co maksimum \(\displaystyle{ L(\theta)}\) - wynika to ze wspomnianego faktu, że logarytm naturalny jest rosnący i ze wzoru na pochodną funkcji złożonej.

Co innego, kiedy warunki regularności nie są spełnione (np. nośniki zależne od \(\displaystyle{ \theta}\) itd.). Wtedy nie możemy sobie tak beztrosko różniczkować. Ale rozumiem, że na razie nie masz takich przykładów.