rozkład wykładniczy i rozkład Weibulla
-
Krwawa Joanna
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 21 sty 2016, o 15:17
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin
rozkład wykładniczy i rozkład Weibulla
Udowodnić, że jeśli X ma rozkład wykładniczy, to \(\displaystyle{ Y= X^{ \frac{1}{\alpha } }}\) ma rozkład Weibulla. Pierwszy raz mam zrobić zadanie z tym rozkładem i nie za bardzo wiem jak. Mam jeszcze kilka innych przykładów tego typu, ale ze znanymi mi rozkładami, więc tam większych problemów nie będzie. Czy ktoś mógłby mi to przejrzyście wyjaśnić?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
rozkład wykładniczy i rozkład Weibulla
Można do tego podejść od strony dystrybuanty. Zakładam, że \(\displaystyle{ \alpha>0}\).
Niech \(\displaystyle{ X \sim \mathcal{E}xp(\lambda)}\). Rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) ma nośnik \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\) (albo jak kto woli \(\displaystyle{ [0,+infty)}\), to nie ma znaczenia).
Zatem
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y \le y)=\mathbf{P}(X^{\frac 1 \alpha}\le y)= \begin{cases} 0 \text{ gdy } y \le 0\\ \mathbf{P}(X \le y^{\alpha}) \text{ w przeciwnym razie } \end{cases}=\\=\mathbf{1}_{(0,+\infty)} \int_{0}^{y^{\alpha}}\lambda e^{-\lambda x}\mbox{d}x=\bigg|t=x^{\frac 1 \alpha}\bigg|=...}\)
Niech \(\displaystyle{ X \sim \mathcal{E}xp(\lambda)}\). Rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) ma nośnik \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\) (albo jak kto woli \(\displaystyle{ [0,+infty)}\), to nie ma znaczenia).
Zatem
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y \le y)=\mathbf{P}(X^{\frac 1 \alpha}\le y)= \begin{cases} 0 \text{ gdy } y \le 0\\ \mathbf{P}(X \le y^{\alpha}) \text{ w przeciwnym razie } \end{cases}=\\=\mathbf{1}_{(0,+\infty)} \int_{0}^{y^{\alpha}}\lambda e^{-\lambda x}\mbox{d}x=\bigg|t=x^{\frac 1 \alpha}\bigg|=...}\)