Średnia z próby rozkładu normalnego - problem

[seler128]

Witam, mam rozwiązanie do tego zadania, jednak nie rozumiem pewnego fragmentu i prosiłabym o wyjaśnienie.

"Kwartalne wydatki mieszkańców miasta A mają rozkład N(300; 60) a miasta B(280; 80). Oblicz prawdopodobieństwo, że średnie kwartalne wydatki 36 losowo wybranych mieszkańców miasta A będą mniejsze od średnich kwartalnych wydatków 64 losowo wybranych mieszkańców miasta B. "

To fragment rozwiązania:
Rozkład ze średniej:
\(\displaystyle{ X: N(m; \frac{ \sigma}{ \sqrt{n} } ) \\

X-Y: N(m _{1} -m _{2} ; \sqrt{ \frac{ \sigma _{1} ^{2} }{ n _{1} } + \frac{ \sigma _{2} ^{2} }{ n _{2}}})}\)



W przypadku liczenia drugiego parametru dla rozkładu (X-Y) nie rozumiem, dlaczego nie może tam być tak:
\(\displaystyle{ \frac{ \sigma _{1} }{ \sqrt{n _{1} } } - \frac{ \sigma _{2} }{ \sqrt{n _{2} } }}\)

Proszę o podpowiedź

[Premislav]

No tak być nie może, bo odchylenia standardowe się nie odejmują (BTW rozwiązanie korzysta ze stochastycznej niezależności rozkładów wydatków \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)). Jeżeli \(\displaystyle{ X, Y}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi oraz \(\displaystyle{ X\sim \mathcal{N}(\mu_{1}, \sigma_{1})}\), a także
\(\displaystyle{ Y\sim \mathcal{N}(\mu_{2}, \sigma_{2})}\), to \(\displaystyle{ X-Y\sim \mathcal{N}\left( \mu_{1}-\mu_{2}, \sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}} \right)}\) (drugi parametr to odchylenie standardowe, jak u Ciebie). Można to wyprowadzić np. z użyciem funkcji tworzących momenty.
Zobacz, że to, co proponujesz, nie działa nawet na "chłopski rozum": różnica nie jest symetrycznym działaniem, więc \(\displaystyle{ X-Y}\) miałoby częstokroć inne odchylenie standardowe niż \(\displaystyle{ Y-X}\), co jest bzdurą.

[seler128]

ciężko mi jakoś uczyć się teorii z podręcznika, ale postaram się to zapamiętać, dzięki