Dlaczego wartosc oczekiwana z procesu Wienera do kwadratu jest taka:
\(\displaystyle{ E((W{t})^{2}) = t}\)
Proces Wienera, pytanie podstawowe
-
- Użytkownik
- Posty: 7906
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Proces Wienera, pytanie podstawowe
Jest to szczególny przypadek \(\displaystyle{ n=2}\) ogólnego wzoru
\(\displaystyle{ E(W^{n}(t)) = \begin{cases} 0, \ \ \mbox{gdy} \ \ n\in NPAR\\ \frac{n!t^{n/2}}{2^{n/2}(n/2)!} \ \mbox{gdy} \ \ n\in PAR \end{cases}.}\)
Dowód:
Kładąc: \(\displaystyle{ X =W,\ \ f(t, x) = x^{n}, \ \ Z(t) = f(t, X(t))}\)
Z formuły Ito
\(\displaystyle{ dZ(t)= \frac{n(n-1)}{2}W^{n-2}(t)dt +nW^{n-1}(t)dW(t)}\)
lub równoważnie
\(\displaystyle{ Z(t) = \frac{n(n-1)}{2}\int_{0}^{t}W^{n-1}(s)ds +n \int_{0}^{t}W^{n-1}(s)dW(s)}\) (1)
Biorąc wartość oczekiwaną dla obu stron (1)
\(\displaystyle{ E(Z(t)) = E(W^{n}t)) = \frac{n(n-1)}{2}\int_{0}^{t}E(W^{n-2}(s))ds}\) (2)
Z równości (2) wynika, że \(\displaystyle{ E(W(t))=0,\ \ E(W^{2}(t)) = t.}\)
c.b.d.o.
\(\displaystyle{ E(W^{n}(t)) = \begin{cases} 0, \ \ \mbox{gdy} \ \ n\in NPAR\\ \frac{n!t^{n/2}}{2^{n/2}(n/2)!} \ \mbox{gdy} \ \ n\in PAR \end{cases}.}\)
Dowód:
Kładąc: \(\displaystyle{ X =W,\ \ f(t, x) = x^{n}, \ \ Z(t) = f(t, X(t))}\)
Z formuły Ito
\(\displaystyle{ dZ(t)= \frac{n(n-1)}{2}W^{n-2}(t)dt +nW^{n-1}(t)dW(t)}\)
lub równoważnie
\(\displaystyle{ Z(t) = \frac{n(n-1)}{2}\int_{0}^{t}W^{n-1}(s)ds +n \int_{0}^{t}W^{n-1}(s)dW(s)}\) (1)
Biorąc wartość oczekiwaną dla obu stron (1)
\(\displaystyle{ E(Z(t)) = E(W^{n}t)) = \frac{n(n-1)}{2}\int_{0}^{t}E(W^{n-2}(s))ds}\) (2)
Z równości (2) wynika, że \(\displaystyle{ E(W(t))=0,\ \ E(W^{2}(t)) = t.}\)
c.b.d.o.
Proces Wienera, pytanie podstawowe
Z definicji procesu Wienera wiemy, że \(\displaystyle{ W_{0}=0}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) oraz przyrosty mają rozkład normalny:
\(\displaystyle{ W_{t}-W_{s}\sim \mathcal{N}(0,t-s)}\)
Dla \(\displaystyle{ s=0}\) wobec tego mamy:
\(\displaystyle{ W_{t}\sim \mathcal{N}(0,t)}\)
Skoro \(\displaystyle{ Var[W_{t}]=t}\), to z definicji wariancji
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[W_{t}^{2}]-\left[ \mathbb{E}[W_{t}]\right]^{2}=t}\)
ale \(\displaystyle{ \mathbb{E}[W_{t}]=0}\), a stąd \(\displaystyle{ \mathbb{E}[W_{t}^{2}]=t}\).
\(\displaystyle{ W_{t}-W_{s}\sim \mathcal{N}(0,t-s)}\)
Dla \(\displaystyle{ s=0}\) wobec tego mamy:
\(\displaystyle{ W_{t}\sim \mathcal{N}(0,t)}\)
Skoro \(\displaystyle{ Var[W_{t}]=t}\), to z definicji wariancji
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[W_{t}^{2}]-\left[ \mathbb{E}[W_{t}]\right]^{2}=t}\)
ale \(\displaystyle{ \mathbb{E}[W_{t}]=0}\), a stąd \(\displaystyle{ \mathbb{E}[W_{t}^{2}]=t}\).