Rozkład ciągły.

[daniel1302]

X ma gęstość
\(\displaystyle{ F(X) = \begin{cases} A \cdot cos(x) dla |x| \le \frac{\pi}{2} \\ 0 poza tym \end{cases}}\)
Oblicz
a) wartość oczekiwaną
b) kwadrat wartości oczekiwanej
c) \(\displaystyle{ P\left( X < \frac{\pi}{4} \right)}\)


I teraz mam problem z częścią a)

\(\displaystyle{ E(X) = \int_{-\infinity}^{+\infinity} x \cdot A \cdot cos(x)}\) I to łatwo obliczyć na przedziale -PI2; +PI2

Ale jeśli wyciągnę A przed całkę to co z tym zrobić?

[Premislav]

Nie do końca rozumiem Twój problem. Stałą \(\displaystyle{ A}\) wyliczasz, rozwiązując równanie
\(\displaystyle{ \int_{-\frac \pi 2}^{\frac \pi 2} A\cos x\mbox{d}x=1}\), bo ta funkcja to ma być gęstość (czyli ma być nieujemna i całkować się do \(\displaystyle{ 1}\)). Stąd wychodzi \(\displaystyle{ A=\frac 1 2}\).
Całkę \(\displaystyle{ \int_{-\frac \pi 2}^{\frac \pi 2}x\cos x\mbox{d}x}\) można oczywiście policzyć przez części.

[Medea 2]

Przez części? Przecież funkcja podcałkowa jest nieparzysta.

[Premislav]

O matko i córko, sam jestem części. Powinienem jeszcze policzyć pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 4}\) w ten sposób, że najpierw przeciwprostokątną wyliczam z twierdzenia Pitagorasa, a potem podstawiam długości boków do wzoru Herona.