Kowariancja i korelacja zmiennych losowych

[Kratos]

Dzień dobry,
Mam obliczyć kowariancję i korelację zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\), mającej rozkład jednorodny na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ Y = e^X}\). Ogólnie wiem jak policzyć kowariancję i korelację. Problem pojawia się tylko w granicach, po których całkujemy. Najpierw chciałem policzyć funkcję gęstości. I tutaj pojawiają się dwa pytania. Czy funkcją gęstości jest w tym przypadku \(\displaystyle{ \frac{1}{Pole}}\). Jeśli założymy, że tak to jaką granicę dobrać do takich zmiennych. Czy to będzie taka całka? \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{e^X} dx dy}\)

Z góry dziękuję za odpowiedzi.

PS i zapomniałem jeszcze o pytaniu tytułowym. Czy takie same granice są przy liczeniu wartości oczekiwanej z funkcji gęstości, czy wtedy są tylko granice od \(\displaystyle{ [0,1]}\)?-- 17 lut 2016, o 01:29 --Nikt nie potrafi pomóc? Jakakolwiek podpowiedź byłaby dla mnie ważna.

[Premislav]

Kowariancję zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, Y}\) można policzyć tak:
\(\displaystyle{ \mathbf{cov}(X,Y)=\mathbf{E}[XY]-\mathbf{E}X\mathbf{E}Y}\)
W tym wypadku \(\displaystyle{ \mathbf{E}X= \int_{0}^{1}x\mbox{d}x}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbf{E}Y= \int_{0}^{1}e^{x}\mbox{d}x}\).
Gorzej z policzeniem \(\displaystyle{ \mathbf{E}[XY]}\), bo nie umiem wyznaczyć gęstości rozkładu łącznego wektora losowego \(\displaystyle{ [X,Y]}\) z uwagi na to, że \(\displaystyle{ X,Y}\) ewidentnie nie są niezależne, a liczenie wprost rozkładu \(\displaystyle{ XY}\) z dystrybuanty zapewnia urocze spotkanie z funkcją W Lamberta.
Może ktoś mądrzejszy coś podpowie.


Jak masz policzoną kowariancję (nie wiem jak ), to przelicz odchylenia standardowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), a następnie korzystając z tego oraz policzonej kowariancji znajdziesz współczynnik korelacji.