Witam wszystkich serdecznie!
Mam niemały problem z zadaniem o treści :
,,Pewne towarzystwo ubezpieczeniowe ma 600 klientów w pewnej grupie ryzyka, o której na podstawie obserwacji wiadomo, że średnie roczne roszczenie jednego klienta wynosi 1000 zl przy odchyleniu standardowym 500 zł.
Oszacuj jaką kwotę na wypłacenie roszczeń powinno przewidzieć towarzystwo, aby prawdopodobieństwo, ze zostanie ona przekroczona nie było większe niż 0,05. ( zastosować aproksymację rozkładem normalnym)"
Przyznam szczerze, że nie mam pojęcia, od której strony się za nie zabrać.
Z góry dziękuję za wszelką pomoc,
Pozdrawiam!
Wątpliwości odnośnie rozkładu normalnego.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Wątpliwości odnośnie rozkładu normalnego.
Powiedzmy, że masz ciąg \(\displaystyle{ (X_{n})_{n\in \NN^{+}}}\) niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie ze średnią \(\displaystyle{ \mu=1000}\) i odchyleniem standardowym \(\displaystyle{ \sigma=500}\). Wtedy na mocy Centralnego Twierdzenia Granicznego \(\displaystyle{ \frac{ X_{1}+...+X_{n}-n \mu }{ \sqrt{n}\sigma } \rightarrow \mathcal{N}(0,1)}\) (słaba zbieżność)
Czyli dla dużych \(\displaystyle{ n}\) możemy przybliżać dystrybuanty zmiennych losowych \(\displaystyle{ Y_{n}=\frac{ X_{1}+...+X_{n}-n \mu }{ \sqrt{n}\sigma }}\) za pomocą dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego.
Szukasz takiego możliwie małego \(\displaystyle{ k}\), by \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_{1}+...+X_{600} \le k) \ge 0,95=1-0,05}\). Jak się zdaje, mamy \(\displaystyle{ \Phi(1,645)\approx 0,95}\), ale to można sprawdzić w tablicach standardowego rozkładu normalnego.
Aha, no i \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_{1}+...+X_{600} \le k)=\mathbf{P}\left( \frac{X_{1}+...+X_{600}-600\cdot 1000}{ \sqrt{600} \cdot 500 } \le \frac{k-600\cdot 1000}{\sqrt{600} \cdot 500 } \right)}\)
\(\displaystyle{ X_{i}}\) to zmienne losowe odzwierciedlające roszczenia poszczególnych klientów - możemy chyba przyjąć, że są one niezależne (przynajmniej ja nie umiem tego rozwiązać bez tego założenia).
Czyli dla dużych \(\displaystyle{ n}\) możemy przybliżać dystrybuanty zmiennych losowych \(\displaystyle{ Y_{n}=\frac{ X_{1}+...+X_{n}-n \mu }{ \sqrt{n}\sigma }}\) za pomocą dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego.
Szukasz takiego możliwie małego \(\displaystyle{ k}\), by \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_{1}+...+X_{600} \le k) \ge 0,95=1-0,05}\). Jak się zdaje, mamy \(\displaystyle{ \Phi(1,645)\approx 0,95}\), ale to można sprawdzić w tablicach standardowego rozkładu normalnego.
Aha, no i \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_{1}+...+X_{600} \le k)=\mathbf{P}\left( \frac{X_{1}+...+X_{600}-600\cdot 1000}{ \sqrt{600} \cdot 500 } \le \frac{k-600\cdot 1000}{\sqrt{600} \cdot 500 } \right)}\)
\(\displaystyle{ X_{i}}\) to zmienne losowe odzwierciedlające roszczenia poszczególnych klientów - możemy chyba przyjąć, że są one niezależne (przynajmniej ja nie umiem tego rozwiązać bez tego założenia).