Zmienna losowa o rozkładzie normalnym - prawdopodobieństwo

[evergreen]

Witam, mam takie oto zadanie:
Niech Y – zmienna losowa o rozkładzie normalnym z parametrami mi = 120 oraz sigma = 40.
a) Oblicz prawdopodobieństwo, że Y jest mniejsze niż 40.
b) Czy jest możliwe że Y jest większe niż 300 ?

Czy dobrze liczę?
W a) w przybliżeniu 0,03
a w b) nie jest to możliwe bo P{Z>7}

[Premislav]

a) mamy \(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( Y<40\right) =\mathbf{P}\left( \frac{Y-120}{40}<-2 \right) =\Phi(-2)}\). A to jest mniej więcej \(\displaystyle{ 0,023}\)
b) nieprawda, zmienna losowa o rozkładzie normalnym może przyjmować dowolne wartości rzeczywiste. Prawdopodobieństwo wystąpienia wskazanego zdarzenia jest znikome, ale dodatnie (całka z dodatniej funkcji po zbiorze o dodatniej mierze Lebesgue'a). Co więcej, nawet nie każde zdarzenie występujące z prawdopodobieństwem zero jest zdarzeniem niemożliwym. Np. jakie tu masz prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ Y=120}\)?

[evergreen]

Dla Y=120 prawdopodobieństwo wychodzi 0,5..
Czyli aby wyliczyć Y>300 mam policzyć całkę?

[Premislav]

Dla Y=120 prawdopodobieństwo wychodzi 0,5..

Nie, ja pytałem o \(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y=120)}\), a nie o \(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y<120)}\). Otóż \(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y=120)=0}\), ale to nie jest zdarzenie niemożliwe.

Nie musisz tutaj wyliczać \(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y>300)}\), bo Cię o to nie pytają, tylko o to, czy takie zdarzenie jest możliwe. No i jest.

[evergreen]

To w jakim przypadku byłoby zdarzenie niemożliwe?

[Premislav]

Np.\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y>\left| Y\right|)}\) - ale to patologiczna sytuacja, taki przykład to działa dla każdej zmiennej losowej.
Jeżeli masz zmienną losową \(\displaystyle{ Y}\) o rozkładzie normalnym, to żadne zdarzenie typu \(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y \le k), \mathbf{P}(Y>k), \mathbf{P}(Y=k)}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest jakąś tam stałą rzeczywistą, nie jest zdarzeniem niemożliwym.

[bvcmnx]

,,Zdarzenie niemożliwe' to po prostu probabilistyczna nazwa zbioru pustego.