Cześć,
Mam problem z nastepującym zadaniem:
Długość odcinka jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym (jednorodnym) na przedziale (a,b). Proszę znaleźć wartość oczekiwaną i wariację pól kwadratów o bokach utworzonych z wybranych losowo odcinków.
Wartość oczekiwana, wariacja pól kwadratow.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Wartość oczekiwana, wariacja pól kwadratow.
Już drugie takie zadanie w ciągu niedługiego czasu. Szukamy \(\displaystyle{ \mathbf{E}[X^{2}]}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ (a,b)}\).
Mamy \(\displaystyle{ \mathbf{E}\phi(X)= \int_{\RR}^{} \phi(X)f(x)\mbox{d}x}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi}\) jest borelowska, zaś \(\displaystyle{ f}\)to gęstość rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\). Wobec tego
dla \(\displaystyle{ X\sim \mathcal{U}_{(a,b)}}\) mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[X^{2}]= \int_{\RR}^{} \frac{x^{2}}{b-a}\mathbf{1}_{(a,b)}(x)\mbox{d}x= \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}x^{2} \mbox{d}x= \frac{x^{3}}{3(b-a)}\bigg|^{x=b}_{x=a}= \frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}}\).
Alternatywnie można znaleźć funkcję tworzącą momenty zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) i dwukrotnie zróżniczkować po \(\displaystyle{ t}\), po czym podstawić \(\displaystyle{ t=0}\).-- 29 sty 2016, o 20:04 --A, Jeezu no, a żeż Bar La Curva, zapomniałem o wariancji. Czyli do znalezienia jest jeszcze \(\displaystyle{ \mathbf{Var}Y=\mathbf{Var}X^{2}=\mathbf{E}X^{4}-(\mathbf{E}X^{2})^{2}=\mathbf{E}X^{4}- \frac{(a^{2}+ab+b^{2})^{2}}{9}}\).
Zatem policzmy \(\displaystyle{ \mathbf{E}X^{4}= \int_{a}^{b} \frac{x^{4}}{b-a}\mbox{d}x= \frac{x^{5}}{5(b-a)}\bigg|^{x=b}_{x=a}= \frac{b^{4}+b^{3}a+b^{2}a^{2}+ba^{3}+a^{4}}{5}}\).
Zatem wynik to \(\displaystyle{ \mathbf{Var}Y=\frac{b^{4}+b^{3}a+b^{2}a^{2}+ba^{3}+a^{4}}{5} -\frac{(a^{2}+ab+b^{2})^{2}}{9}}\), uprość już to sobie sam, jesli zajdzie taka potrzeba, po szkole średniej tyle powinieneś umieć.
Mamy \(\displaystyle{ \mathbf{E}\phi(X)= \int_{\RR}^{} \phi(X)f(x)\mbox{d}x}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi}\) jest borelowska, zaś \(\displaystyle{ f}\)to gęstość rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\). Wobec tego
dla \(\displaystyle{ X\sim \mathcal{U}_{(a,b)}}\) mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[X^{2}]= \int_{\RR}^{} \frac{x^{2}}{b-a}\mathbf{1}_{(a,b)}(x)\mbox{d}x= \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}x^{2} \mbox{d}x= \frac{x^{3}}{3(b-a)}\bigg|^{x=b}_{x=a}= \frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}}\).
Alternatywnie można znaleźć funkcję tworzącą momenty zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) i dwukrotnie zróżniczkować po \(\displaystyle{ t}\), po czym podstawić \(\displaystyle{ t=0}\).-- 29 sty 2016, o 20:04 --A, Jeezu no, a żeż Bar La Curva, zapomniałem o wariancji. Czyli do znalezienia jest jeszcze \(\displaystyle{ \mathbf{Var}Y=\mathbf{Var}X^{2}=\mathbf{E}X^{4}-(\mathbf{E}X^{2})^{2}=\mathbf{E}X^{4}- \frac{(a^{2}+ab+b^{2})^{2}}{9}}\).
Zatem policzmy \(\displaystyle{ \mathbf{E}X^{4}= \int_{a}^{b} \frac{x^{4}}{b-a}\mbox{d}x= \frac{x^{5}}{5(b-a)}\bigg|^{x=b}_{x=a}= \frac{b^{4}+b^{3}a+b^{2}a^{2}+ba^{3}+a^{4}}{5}}\).
Zatem wynik to \(\displaystyle{ \mathbf{Var}Y=\frac{b^{4}+b^{3}a+b^{2}a^{2}+ba^{3}+a^{4}}{5} -\frac{(a^{2}+ab+b^{2})^{2}}{9}}\), uprość już to sobie sam, jesli zajdzie taka potrzeba, po szkole średniej tyle powinieneś umieć.