Statystyki dostateczne na podstawie kryterium faktoryzacji

[Anielka1234567]

Witam. Chodzi o sprawdzenie:
Na podstawie kryterium faktoryzacji wyznaczyć statystyki dostateczne dla n-wymiarowych prób prostych z rodziny rozkładów:
a) dwumianowych b(N,p), N znane
b) Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\)
c) rozkład normalny \(\displaystyle{ N(m,\sigma^{2})}\)
-m znane
-\(\displaystyle{ \sigma}\) znane
-m i \(\displaystyle{ \sigma}\) nieznane
Szukam postaci: \(\displaystyle{ p_{\theta}(x)=g_{\theta}[T(x)]h(x)}\), gdzie T(x)-statystyka dostateczna
\(\displaystyle{ \mathbb{X}=(X_{1},...,X{n})^{T}}\)
Ad. a)
\(\displaystyle{ {N\choose X_{1}} p^{X_{1}}(1-p)^{N-X_{1}}...{N\choose X_{n}}p^{X_{n}}(1-p)^{N-X_{n}}=\\={N\choose X_{1}}...{N\choose X_{n}}p^{\sum_{i=1}^{n} X{i}}(1-p)^{nN-\sum_{i=1}^{n}X_{i}}}\)
dostałam:
\(\displaystyle{ T(\mathbb{X})= \sum_{i=1}^{n} X{i}}\)
\(\displaystyle{ h(\mathbb{X})={N\choose X_{1}}...{N\choose X_{n}}}\)
\(\displaystyle{ g_{\theta}(\mathbb{X})=p^{T(\mathbb{X})}(1-p)^{nN-T(\mathbb{X})}}\)

Ad.b)
\(\displaystyle{ \frac{\lambda^{X_{1}}e^{-\lambda}}{X_{1}!}...\frac{\lambda^{X_{n}}e^{-\lambda}}{X_{n}!}=\lambda^{\sum_{i=1}^{n} X{i}}e^{-\lambda n}\frac{1}{\prod_{i=1}^{n}X_{i}!}}\)
\(\displaystyle{ T(\mathbb{X})= \sum_{i=1}^{n} X{i}}\)
\(\displaystyle{ h(\mathbb{X})=\frac{1}{\prod_{i=1}^{n}X_{i}!}}\)
\(\displaystyle{ g_{\theta}(\mathbb{X})=\lambda^{\sum_{i=1}^{n} X{i}}e^{-\lambda n}}\)

Ad.c)
\(\displaystyle{ \frac{1}{(\sqrt{2\pi})^{n}}\frac{1}{\sigma^{n}}e^{-\frac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n} X{i}^{2}}e^{-\frac{nm^{2}}{2\sigma^{2}}}e^{\frac{m}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n} X{i}}}\)
Dla m znanego lub m i \(\displaystyle{ \sigma}\) nieznanego:
\(\displaystyle{ T(\mathbb{X})=(\sum_{i=1}^{n} X{i}^{2},\sum_{i=1}^{n} X{i})^{T}}\)
\(\displaystyle{ h(\mathbb{X})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^{n}}}\)
\(\displaystyle{ g_{\theta}(\mathbb{X})= \frac{1}{\sigma^{n}}e^{-\frac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n} X{i}^{2}}e^{-\frac{nm^{2}}{2\sigma^{2}}}e^{\frac{m}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n} X{i}}}\)
Dla \(\displaystyle{ \sigma}\) znanego:
\(\displaystyle{ T(\mathbb{X})=\sum_{i=1}^{n} X{i}}\)
\(\displaystyle{ h(\mathbb{X})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^{n}}\frac{1}{\sigma^{n}}e^{-\frac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n} X{i}^{2}}}\)
\(\displaystyle{ g_{\theta}(\mathbb{X})=e^{-\frac{nm^{2}}{2\sigma^{2}}}e^{\frac{m}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n} X{i}}}\)
Czy dobrze?