Odczytywanie z tablic rozkładu t-Studenta i chi-kwadrat

[El_Konrad]

Witam,

mam pewne kłopoty z odczytywaniem wartości z tablic rozkładu t-Studenta i chi-kwadrat. Może przejdę od razu do przykładów - chodzi jedynie o poprawne przeczytanie z tablic, bo tego nie rozumiem.
Link do tablic: 39336.htm

Przykład 1
Mam jakieś zadanie z wyznaczeniem przedziału ufności dla wartości średniej.
\(\displaystyle{ 1- \alpha = 0,98}\) oraz \(\displaystyle{ n=10}\).
Korzystam z modelu, w którym
\(\displaystyle{ \overline{x} - t(1- \frac{ \alpha }{2}, n-1) \frac{S}{ \sqrt{n-1} } < m < \overline{x} + t(1- \frac{ \alpha }{2}, n-1) \frac{S}{ \sqrt{n-1} }}\)
gdzie \(\displaystyle{ t(1- \frac{ \alpha }{2}, n-1)}\) jest kwantylem rzędu \(\displaystyle{ 1- \frac{ \alpha }{2}}\) rozkładu t-Studenta o \(\displaystyle{ n-1}\) stopniach swobody.

Zatem, muszę wyznaczyć \(\displaystyle{ t(1- \frac{ \alpha }{2}, n-1)}\)
\(\displaystyle{ \alpha = 0,02 \\ \frac{ \alpha }{2} = 0,01 \\ 1- \frac{ \alpha }{2} = 0,99 \\ t(1- \frac{ \alpha }{2}, n-1)=t(0,99 ; 9)}\)
Nie dość, że w tablicy rozkładu t-Studenta, nie ma \(\displaystyle{ \alpha = 0,99}\), to dodatkowo na zajęciach prowadzący zapisał, że \(\displaystyle{ t(0,99 ; 9)=2,821}\), a więc ta wartość z tablic jest dla \(\displaystyle{ \alpha =0,02}\) oraz \(\displaystyle{ r=9}\). Mógłby ktoś mi wytłumaczyć dlaczego bierzemy dla \(\displaystyle{ \alpha =0,02}\) ?

Przykład 2
Wyznaczyć przedział ufności dla wariancji.
\(\displaystyle{ 1- \alpha = 0,98}\) oraz \(\displaystyle{ n=5}\)
\(\displaystyle{ \alpha = 0,02 \\ \frac{ \alpha }{2} = 0,01 \\ 1- \frac{ \alpha }{2} = 0,99}\)
Korzystam z modelu, gdzie
\(\displaystyle{ \frac{nS^2}{\chi^2(1- \frac{ \alpha }{2}, n-1)} < \sigma^{2} < \frac{nS^2}{\chi^2(\frac{ \alpha }{2}, n-1)}}\)

Z zajęć mam, że
\(\displaystyle{ \chi^2(1 - \frac{ \alpha }{2}, n-1) = \chi^2(0,99; 4) = 13,277}\)
\(\displaystyle{ \chi^2(\frac{ \alpha }{2}, n-1) = \chi^2(0,01; 4) = 0,297}\)

I znów to samo. Z tablic rozkładu chi-kwadrat, odczytałbym to na odwrót Tzn. \(\displaystyle{ \chi^2(0,99; 4) = 0,297}\) i \(\displaystyle{ \chi^2(0,01; 4) = 13,277}\)...

[Yelon]

Wytłumaczę na przykładzie pierwszym, drugi jest analogiczny, tylko inny rozkład.

Masz \(\displaystyle{ \alpha=0,02}\), bo \(\displaystyle{ 1-\alpha=0,98}\).
Ok, następnie liczysz, że \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}=0,01}\).
Teraz podstawiasz do t-Studenta:

\(\displaystyle{ t\left( 1-\frac{\alpha}{2}, n-1\right) = t(1-0,01;9)}\).

Czyli masz rozkład t-Studenta o rzędzie (w tablicach literka "p") równym \(\displaystyle{ 0,99}\), oraz \(\displaystyle{ 9}\) stopniach swobody (w tablicach oznaczanych jako "v").

W tablicach możesz nie mieć wartości dla \(\displaystyle{ \alpha=0,99}\), ale to nie jest problem, gdyż liczba \(\displaystyle{ 0,99}\) to jest \(\displaystyle{ 1-\frac{\alpha}{2}}\). No a \(\displaystyle{ \alpha}\) bierzesz z treści zadania.

Podsumowując:
jeśli \(\displaystyle{ \alpha=0.02 \rightarrow}\) to liczysz \(\displaystyle{ t\left( 1-\frac{0,02}{2};9\right)=t(0,99;9)}\)

jeśli \(\displaystyle{ \alpha=0.1 \rightarrow}\) to liczysz \(\displaystyle{ t\left( 1-\frac{0,1}{2};9\right)=t(0,95;9)}\)

i tak dalej

[El_Konrad]

Ok, ma to sens w tym przypadku Dzięki.

drugi jest analogiczny

Chyba nie, a przynajmniej nie dla mnie, bo na zajęciach prowadzący podał, że
\(\displaystyle{ \chi^2(1 - \frac{ \alpha }{2}, n-1) = \chi^2(0,99; 4) = 13,277}\)
\(\displaystyle{ \chi^2(\frac{ \alpha }{2}, n-1) = \chi^2(0,01; 4) = 0,297}\)

A z tablic dla \(\displaystyle{ \chi^2(0,99; 4)}\) równa się \(\displaystyle{ 0,297}\)


Zaś dla \(\displaystyle{ \chi^2(0,01; 4)}\) równa się \(\displaystyle{ 13,277}\)


To jak w końcu to czytać...

[Yelon]

No tak, bo w Twoich tablicach masz wartości \(\displaystyle{ \chi ^{2} \left(\alpha,r\right)}\).

Zauważ zatem, że dla gdy w Twoich tablicach wartość \(\displaystyle{ 13.277}\) otrzymujemy dla \(\displaystyle{ \chi ^{2}\left( 0.01 ;4\right)}\), to ta wartość \(\displaystyle{ 0.01}\) to jest Twoje \(\displaystyle{ \alpha}\) (a w ogóle to powinno być \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\) chyba).

W podręczniku prowadzącego tablice mogę być inne: to znaczy on ma \(\displaystyle{ \chi ^{2} \left(p,r\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ p=1-\frac{\alpha}{2}}\), więc u niego \(\displaystyle{ 13.277= \chi ^{2} \left(p,4\right)=\chi ^{2} \left(1-\frac{\alpha}{2},4\right)=\chi ^{2} \left(0.99,4\right)}\)

Widzisz teraz że wyniki macie takie same, tylko że u Ciebie (lub u niego ) są one zamienione.

[El_Konrad]

Dalej nie rozumiem :/
Znalazłem stronkę z tablicami rozkładów, m.in. t-Studenta i chi-kwadrat.
Okazuje się, że jeśli miałbym odczytać potrzebne dla mnie wartości (dla przykładów 1 i 2) z tych tablic, to nie byłoby żadnego kłopotu, więc jeśli miałbym dokładnie te same tablice od początku to nie byłoby tego tematu, a więc ostatni przykład.

Mam kolejne zadanie, z hipotezami, i problem ten sam.
\(\displaystyle{ n=10 \\ 1- \alpha = 0,02}\)
Wyznaczyć zbiór krytyczny \(\displaystyle{ W=<\chi ^{2}(1- \alpha, n-1), \infty)}\)
\(\displaystyle{ \chi ^{2}(1- \alpha , n-1)=\chi ^{2} (1-0,02; 9) = \chi ^{2} (0,98; 9) = ?}\)
Jeśli spojrzałbym na rozkład, który można znaleźć na Wikipedii: _ ... hi-kwadrat to dla:
\(\displaystyle{ \alpha =0,98}\) wartość \(\displaystyle{ =2.532}\),
\(\displaystyle{ \alpha = 0,02}\) wartość \(\displaystyle{ =19.679}\)
A jeśli od razu przeczytałbym z tablic z tej strony http://users.uj.edu.pl/~ufkamys/BK/kwantyle.pdf dla \(\displaystyle{ \alpha =0,98}\) to miałbym \(\displaystyle{ 19,679}\).

[Yelon]

No bo po raz kolejny, to są dwie różne tablice!

W tej z drugiego linka (), masz wartości dla stopni swobody oraz \(\displaystyle{ \alpha}\) - poziom kwantyla.

W tej z wiki (_ ... hi-kwadrat) masz z kolei również stopnie swobody, ale już nie poziom kwantyla - \(\displaystyle{ \alpha}\), tylko poziom istotności, który wynosi \(\displaystyle{ 1-\alpha}\) (na przykład dla \(\displaystyle{ \alpha=0,05}\) mówimy o \(\displaystyle{ 95 \%}\) poziomie istotności).

Po prostu musisz zawsze patrzeć, czy tablice są napisane dla poziomu kwantyla- \(\displaystyle{ \alpha}\) czy dla poziomu istotności/progu/(nie wiem jakie są jeszcze nazwy) - czyli \(\displaystyle{ 1-\alpha}\).