Jednoczynnikowa analiza wariancji:
Mamy jeden obiekt(czynnik) na \(\displaystyle{ v}\) poziomach, gdzie każdy ma po \(\displaystyle{ n_i}\) obserwacji wartości cechy.
Obserwujemy cechę, tj. jak się zmienia jej wartość w zależności od zastosowanego obiektu.
Innymi słowy jaki wpływ na cechę mają poziomy tego czynnika.
Każdy poziom czynnika ma swoją wartość oczekiwaną wartości tej cechy, niech to będzie \(\displaystyle{ \beta _{i}}\), \(\displaystyle{ i=1,...,v}\)
Będziemy stawiać hipotezę o wpływ poziomów czynnika na wartości obserwowanej cechy.
Mamy więc, że
\(\displaystyle{ H_{0}: \beta_{1}=...=\beta_{v}}\)
przeciwko
\(\displaystyle{ H_{1}: \neg H_{0}}\)
Model liniowy, to:
\(\displaystyle{ y_{ij}=\beta_i+e_{ij}}\), gdzie \(\displaystyle{ i=1,2,...,v \\ j=1,...,n_i}\)
\(\displaystyle{ y_{ij}}\), to j-ta obserwacja i-tego poziomu obiektu.
Założenia: \(\displaystyle{ y_{ij} \approx N(\beta_{i},\sigma^{2})}\)
A błędy losowe są niezależnymi zmiennymi losowymi o zerowej wartości oczekiwanej i wariancji \(\displaystyle{ \sigma^{2}}\)
Możemy podaną wyżej hipotezę zapisać równoważnie uwzględniając efekt i-tego poziomu czynnika.
Wtedy model wygląda następująco:
\(\displaystyle{ y_{ij}=\mu+\alpha_i+e_{ij}}\), gdzie \(\displaystyle{ i=1,2,...,v \\ j=1,...,n_i}\)
oraz \(\displaystyle{ \mu}\) to średnia ogólna z populacji, a \(\displaystyle{ \alpha_{i}}\), to właśnie efekt i-tego poziomu czynnika.
Wtedy:
\(\displaystyle{ H_{0}: \alpha_{1}=...=\alpha_{v}=0}\)
\(\displaystyle{ H_{1}: \neg H_{0}}\).
MOJE PYTANIA:
1. Dlaczego w tej równoważnej hipotezie mamy równość właśnie dla wartości 0, czy nie wystarczy sama równość?
Ja rozumiem efekt i-tego poziomu czynnika jako \(\displaystyle{ \beta_{i}=\mu+\alpha_{i}}\), ale nie wiem do końca o czym on mówi, bo nie wiem co to znaczy, że \(\displaystyle{ \mu}\), to średnia z populacji, tzn. ze wszystkich obserwacji w doświadczeniu???
Jakkolwiek, dlaczego w tej hipotezie jest równość dla wartości 0?
Czy ja w ogóle poprawnie rozumiem jednoczynnikową analizę wariancji?