Problem z ENW

[effodiks]

Witam, mam pewien problem z policzeniem \(\displaystyle{ ENW(m)}\) dla funkcji gęstości podanej poniżej, mianowicie wyznaczam funkcję wiarygodności logarytmuję ją i następnie przyrównuję do zera i tutaj nie wiem jak dalej postępować, bo gubię się w obliczeniach. Może ktoś ma jakiś pomysł jak to policzyć?

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{\Pi} \frac{1}{1+\left( x-m\right) ^{2} }}\)

Funkcja wiarygodności będzie miała postać:
\(\displaystyle{ L(m, x_{1},...,x _{n})= \frac{1}{\Pi ^{n}} \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{1+\left( x _{i}-m \right) ^{2} }}\)
Licząc pochodną logarytmu po m z tej funkcji i przyrównując do \(\displaystyle{ 0}\) otrzymuję coś takiego i nie wiem jak wyliczyć z tego m.
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{2\left( x _{i}-m \right) }{1+\left( x _{i}-m \right) ^{2} }=0}\)
Sprowadzanie do wspólnego mianownika zdaje się, że tylko komplikuje zapis, bo ma wtedy postać:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{ 2\left( x _{i}-m \right) \prod_{j=1, j \neq i}^{n} \left( 1+\left( x _{i}-m \right) ^{2} \right)}{ \prod_{k=1}^{n}1+\left( x _{k}-m \right) ^{2} }}\)

[janusz47]

Z przedostatniej równości

\(\displaystyle{ \bigwedge_{i=1}^{n} (x_{i}=m ).}\)

[robertm19]

janusz47, \(\displaystyle{ x_i}\) masz zadane,a wyznaczasz m.
Wydaje się że trzeba znaleźć takie m gdzie \(\displaystyle{ \sum (x_i-m)^2}\) jest najmniejsze.

[Kartezjusz]

A znamy znaki czegokolwiek?

[effodiks]

robertm19, czemu akurat z takiej równości jak podałeś trzeba znaleźć najmniejsze m?
Kartezjusz, Podana funkcja gęstości jest szczególnym przypadkiem rozkładu Cauchy'ego, więc m może być dowolne tak samo jak \(\displaystyle{ x_{i}}\).