Statystyka \(\displaystyle{ (X_{1:n},X_{n:n})}\) jest minimalną statystyką dostateczną dla rodziny rozkładów jednostajnych na \(\displaystyle{ \theta- \frac{1}{2}, \theta + \frac{1}{2}}\). Wykazać, że nie jest to statystyka zupełna.
Chciałbym tylko sprawdzić czy dobrze myślę, że tak to trzeba zrobić(w rachunki nie wchodzę):
1. Rodzina tych rozkładów jednostajnych nie jest zupełna więc muszę sprawdzać z definicji czy rodzina gęstości wektora(statystyki) \(\displaystyle{ (X_{1:n},X_{n:n})}\) jest rodziną zupełną.
2. Zakładając niezależność \(\displaystyle{ X_{1:n}}\) i \(\displaystyle{ X_{n:n}}\) mam, że gęstość wektora jest iloczynem gęstości statystyki minimum i maximum.
3. I teraz mam problem jak wygląda warunek na zupełność w przypadku 2 wymiarowym, czy tak:
Niech \(\displaystyle{ g(x,y)}\) będzie taką funkcją, że
\(\displaystyle{ \mathbb{E} _{P, \theta}g(x,y)= \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{- \infty }^{ \infty } g(x,y)f(x,y)dxdy=0}\) dla każdej gęstości \(\displaystyle{ f(x,y)}\) wektora \(\displaystyle{ (X_{1:n},X_{n:n})}\)
z tego ma wynikać że \(\displaystyle{ g(x,y)=0}\) prawie wszędzie.
I jeszcze takie pytanie: czy można to zrobić krócej i jak?
Z góry dziękuje za pomoc