estymator nieobciążony, zgodny, efektywny

[przemo9191]

Niech \(\displaystyle{ X_{1},...,X_{n}}\) będzie próbą z rozkładu Poissona \(\displaystyle{ P(\theta)}\), gdzie \(\displaystyle{ \theta > 0}\) jest nieznanym parametrem. Niech:

\(\displaystyle{ T(X_{1},...,X_{n})=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n}kX_{k}}{\sum\limits_{k=1}^{n}k}}\)

będzie estymatorem \(\displaystyle{ \theta}\). Zbadać czy jest to estymator: nieobciążony, zgodny, efektywny.

Moje rozwiązanie:
nieobciążoność:

\(\displaystyle{ E(T(X_{1},...,X_{n}))=E\left(\frac{\sum\limits_{k=1}^{n}kX_{k}}{\sum\limits_{k=1}^{n}k}\right)=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n}kEX_{k}}{\sum\limits_{k=1}^{n}k}=\frac{\theta\sum\limits_{k=1}^{n}k}{\sum\limits_{k=1}^{n}k}=\theta}\)

zgodność:

Obliczam wariancje estymatora:

\(\displaystyle{ Var(T(X_{1},...,X_{n}))=Var\left(\frac{\sum\limits_{k=1}^{n}kX_{k}}{\sum\limits_{k=1}^{n}k}\right)=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n}k^2VarX_{k}}{\left(\sum\limits_{k=1}^{n}k\right)^2}=\frac{\theta\sum\limits_{k=1}^{n}k^2}{\left(\sum\limits_{k=1}^{n}k\right)^2}=\frac{\theta\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n^2(n+1)^2}{4}}=\frac{\theta\left(2+\frac{1}{n}\right)}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}}\)

Z nierówności Czebyszewa:

\(\displaystyle{ P(|T-\theta|>\epsilon)\le\frac{VarT}{\epsilon^2}=\frac{\theta\left(2+\frac{1}{n}\right)}{\epsilon^2 n\left(1+\frac{1}{n}\right)}\xrightarrow{n\to \infty} 0}\)

efektywność:

Obliczam ze wzoru:

\(\displaystyle{ eff(T)=\frac{(\theta')^2}{VarT I_{n}(\theta)}}\)

Wariancje mam już obliczoną, informacja Fischera: \(\displaystyle{ I_{n}(\theta)=\frac{n}{\theta}}\)

\(\displaystyle{ eff(T)=\frac{1}{\frac{n}{\theta} \frac{\theta\left(2+\frac{1}{n}\right)}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}}=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\left(2+\frac{1}{n}\right)}}\)

Wynika z tego, że nie jest efektywny w sensie Cramera-Rao.

Chciałbym zapytać czy dobrze zrobiłem to zadanie?