estymator nieobciążony

[przemo9191]

Niech \(\displaystyle{ X_{1},...,X_{n}}\) będzie próbą z rozkładu o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ \mu}\) i skończonej wariancji \(\displaystyle{ \sigma^{2}}\). Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ \sigma^{2}}\) jest znane. Wówczas wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \mu}\) można estymować za pomocą następującego estymatora:

\(\displaystyle{ T(X_{1},...,X_{n})=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}X_{i}}\), gdzie \(\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}X_{i} = 1}\).

a) Zbadać, czy jest to estymator nieobciążony \(\displaystyle{ \mu}\)
b) Obliczyć wariancje tego estymatora
c) Wykazać, że w klasie estymatorów powyższej postaci estymator \(\displaystyle{ T}\) minimalizuje wariancje wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a_{i}=\frac{1}{n}, \ i=1,2,...,n}\)

Moje rozwiązanie:

a) \(\displaystyle{ E\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}X_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}EX_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}\mu=\mu\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}=\mu}\)

b) \(\displaystyle{ Var\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}X_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^{2}VarX_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\sigma^{2}=\sigma^{2}\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=}\)

i w tym miejscu nie wiem co dalej, proszę o jakieś wskazówki.

[miodzio1988]

Tak to możesz zostawić. W treści Ci mały błąd się wdarł. Działaj z punktem c