Niech \(\displaystyle{ S^2=\frac 1n \sum (X_i-\overline X), \quad S_0^2=\frac{1}{n-1} \sum (X_i-\overline X)}\), wiadomo o co chodzi. Moje pytanie dotyczy wzorów na wariancje tych estymatorów.
Do \(\displaystyle{ S^2}\) mam takie dwa: \(\displaystyle{ \mbox{Var}\, S^2=\frac{2\sigma^4}{n}}\) - źródło wraz z dowodem: \(\displaystyle{ \mbox{Var}\, S^2=\frac{2\sigma^4}{n-1}}\) - źródło wraz z dowodem: ... e-variance
No i który jest dobry?
Teraz wariancja \(\displaystyle{ S_0^2}\). Z jednej strony mam wzór z zajęć: \(\displaystyle{ \mbox{Var}\, S_0^2=\frac{1}{n}\cdot \left( \mu_4 - \frac{n-3}{n-1} \sigma^4 \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \mu_4=\EE(X-\EE X)^4}\), \(\displaystyle{ \sigma}\) to odchylenie standardowe zmiennych \(\displaystyle{ X_i}\).
Wzór znalazłem też gdzieś w internecie, zgubiłem już adres, ale to nieważne. Piszę program w R i ten wzór daje wynik w ogóle nie podobny do wariancji próbkowej (var(estymator) w R) tego estymatora wariancji. W ogóle nie podobny, tzn. różnice wynoszą kilka tysięcy dla \(\displaystyle{ X_i}\) o rozkładzie \(\displaystyle{ N(0,5)}\), więc to jest jakaś pomyłka.
Z drugiej strony mam wiadomy wzór \(\displaystyle{ S_0^2=\frac{n}{n-1}S^2}\). Stąd wynikałyby dwa fajne wzory na wariancję. Dwa, bo tego pierwszego też mamy dwa i nie wiem który jest dobry/ lepszy.
Mamy: \(\displaystyle{ \mbox{Var}\, S_0^2=\frac{2n\sigma^4}{(n-1)^2}}\)
lub \(\displaystyle{ \mbox{Var}\, S_0^2=\frac{2n^2\sigma^4}{(n-1)^3}}\)
Te wartości są bliskie mojej wariancji próbkowej. Wariancja próbkowa jest właściwie pomiędzy tymi dwiema wartościami.
O co chodzi z tymi wzorami? Mógłby ktoś to wyjaśnić?
\(\displaystyle{ \mbox{Var}\,S^2=\frac{2\sigma^4}{n}}\) – średnia \(\displaystyle{ \mu}\) populacji jest znana, a \(\displaystyle{ \sigma^2}\) jest estymatorem wariancji.
Tak samo jest u Pawłowskiego i u Hellwiga.
\(\displaystyle{ \mbox{Var}\,S^2=\frac{2\sigma^4}{n-1}}\) – całe wyprowadzenie jest mętne i nie wiadomo o co chodzi.
Gdzieś pod koniec jest Twój wzór z zajęć, więc musisz znaleźć jakieś informacje o tym czego i kiedy dotyczy.
Dziękuję za informację. Już wszystko wiem.
Te łatwiejsze wzory dotyczą \(\displaystyle{ X\sim N(m,s^2)}\). Natomiast ten z \(\displaystyle{ \mu_4}\) dotyczy każdego rozkładu.
Mój błąd natomiast polegał na tym, że myślałem, że \(\displaystyle{ \mu_4}\) to czwarty moment centralny \(\displaystyle{ X}\)-a, a więc w \(\displaystyle{ \mbox{Var}\, S_0^2}\) dawałem \(\displaystyle{ \mu_4=\EE(S_0^2-\EE S_0^2)^4}\) (jako czwarty moment centralny \(\displaystyle{ S_0^2}\)). Ale nie! Powinno się tam wpisywać Iksy.
