Metoda największej wiarygodności

domi 123 · Post autor: **domi 123** » 1 gru 2015, o 21:56

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania.
Zmienna X może przyjąć trzy wartości z prawdopodobieństwami \(\displaystyle{ \Theta}\), 2 \(\displaystyle{ \Theta}\), 1-3\(\displaystyle{ \Theta}\). Metodą największej wiarygodności znalezc estymator parametru \(\displaystyle{ \Theta}\).

Prosiłabym prosty sposób rozwiązania. Krok po kroku. Kompletnie nie wiem jak się za to zabrać.

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 2 gru 2015, o 11:46

Tworzymy funkcję wiarygodności

\(\displaystyle{ L(\theta) = p(x_{1}, \theta)\cdot p(x_{2},\theta)\cdot p(x_{3}, \theta)}\)

i znajdujemy jej maksimum lokalne.

\(\displaystyle{ L(\theta)= \theta \cdot 2\theta \cdot (1-3\theta).}\)

domi 123 · Post autor: **domi 123** » 2 gru 2015, o 14:46

Bardzo dziękuję. Najpierw jednak trzeba będzie to zlogarytmować. W jaki sposób to zrobić, wszystko po kolei czy też wymnożyć to przez siebie?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 2 gru 2015, o 14:57

Nie, skorzystać z

\(\displaystyle{ \log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c}\)

domi 123 · Post autor: **domi 123** » 2 gru 2015, o 15:50

\(\displaystyle{ log \Theta + log 2\Theta + log (1-3\Theta) = \frac{1}{\Theta}+ \frac{1}{2\Theta}+ \frac{1}{1-3\Theta}\\
\frac{1}{\Theta}+ \frac{1}{2\Theta}+ \frac{1}{1-3\Theta}=0\\
7 \Theta^{2}+3\Theta=0\\
\Theta=0 \vee \Theta= \frac{3}{7}\\}\)
\(\displaystyle{ \Theta=0}\) odrzucamy czyli odp \(\displaystyle{ \Theta=\frac{3}{7}}\) ?

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 2 gru 2015, o 18:47

Musisz jeszcze odróżnić wartość estymatora od samego estymatora, jako odpowiedniej statystyki z próby, służącej do określenia nieznanego parametru

\(\displaystyle{ \hat{\Theta}= \frac{3}{7}I_{<0, 1>}.}\)

domi 123 · Post autor: **domi 123** » 2 gru 2015, o 23:04

bardzo dziekuje za pomoc