Estymator najwięszkej wiarygodności i metoda momentów

oo21o · Post autor: **oo21o** » 1 gru 2015, o 21:50

Dla zmiennej losowej o rozkładzie \(\displaystyle{ f_{\Theta}(x)=g(\Theta)x ^{ \frac{1}{\Theta +1} } , x \in [0,1]}\), określić funkcję \(\displaystyle{ g(\Theta)}\), a następnie estymator parametru \(\displaystyle{ \Theta}\) metodą największej wiarygodności i metodą momentów. Bardzo proszę najpierw o pomoc przy wyznaczeniu tej funkcji, nie mam pojęcia jak ją określić, resztę postaram się zrobić już sam.

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 2 gru 2015, o 11:13

Z własności funkcji gęstości

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} f_{\theta}(x)=1.}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}g(\theta)x^{\frac{1}{\theta+1}}dx =1.}\)

oo21o · Post autor: **oo21o** » 2 gru 2015, o 14:52

ok czyli mam:
\(\displaystyle{ g(\Theta)\frac{1}{\frac{\Theta+2}{\Theta+1}}}1^{\frac{\Theta+2}{\Theta+1}}=1}\) czyli

\(\displaystyle{ g(\Theta)= \frac{1}{\frac{1}{\frac{\Theta+2}{\Theta+1}}}1^{\frac{\Theta+2}{\Theta+1}}}\)
co dawałoby
\(\displaystyle{ g(\Theta)=\frac{1}{\Theta}}\) ?
Proszę o sprawdzenie.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 2 gru 2015, o 15:00

Ni jest dobrze, nie calkuje się to wtedy do jedynki

oo21o · Post autor: **oo21o** » 2 gru 2015, o 15:08

to znaczy, mógłbyś jaśniej ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 2 gru 2015, o 15:10

Jest źle. Przeprowadź sobie obliczenia jeszcze raz-- 2 grudnia 2015, 15:15 --W ostatnim kroku robisz błąd. Pomyśl

oo21o · Post autor: **oo21o** » 2 gru 2015, o 15:38

\(\displaystyle{ g(\Theta)= \frac{\Theta+2}{\Theta+1}}\) ?-- 2 gru 2015, o 22:47 --Czy teraz jest wszystko ok ?

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 3 gru 2015, o 09:41

Jest ok!

oo21o · Post autor: **oo21o** » 3 gru 2015, o 14:10

Metoda największej wiarygodności
\(\displaystyle{ P( X_{1}= x_{1}*...*X _{n}=x _{n}=P( X_{1}= x_{1})*...*P( X_{n}= x_{n})=\\ \\
\frac{\Theta+2}{\Theta+1} x_{1}^{ \frac{1}{\Theta+1}}*...* \frac{\Theta+2}{\Theta+1}x _{n} ^{ \frac{1}{\Theta+1}}= (\frac{\Theta+2}{\Theta+1}) ^{n}*(x _{1}*...*x _{n})^{ \frac{1}{\Theta+1}}=L(\Theta)\\ \\
log L(\Theta)=log(\frac{\Theta+2}{\Theta+1}) ^{n}*(x _{1}*...*x _{n})^{ \frac{1}{\Theta+1}}= \\
(n*log(\frac{\Theta+2}{\Theta+1})) *(\frac{log(x _{1}*...*x _{n}}{\Theta+1}) \\ \\
log L'(\Theta)=(n*( \frac{1}{\Theta+2}- \frac{1}{\Theta+1}))( \frac{log(x _{1}*...*x _{n})}{\Theta+1})+(nlog( \frac{\Theta+2}{\Theta+1})*( \frac{-log(x _{1}*...*x _{n}}{(\Theta+1)^{2}})=\\ \\
( \frac{-n}{(\Theta+2)(\Theta+1)})( \frac{log(x _{1}*...*x _{n})}{\Theta+1})+(nlog (\frac{\Theta+2}{\Theta+1})* \frac{-log(x _{1}*...*x _{n})}{(\Theta+1)^{2}})= \\ \\
\frac{-nlog(x _{1}*...*x _{n})}{(\Theta+1)^{2}}*( \frac{1}{\Theta+2} + log( \frac{\Theta+2}{\Theta+1}))}\)
poprawione...

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 3 gru 2015, o 15:55

W trzecim wierszu

\(\displaystyle{ L(\theta)\neq log(L(\Theta)}\) - nieścisły zapis.

W piątym wierszu brakuje prawostronnego nawiasu )

Popraw i teraz znajdź wartość estymatora parametru \(\displaystyle{ \Theta.}\)

Na końcu odróżnij wartość estymatora od jego ogólnej postaci.

oo21o · Post autor: **oo21o** » 3 gru 2015, o 17:38

W piątym wierszu są wszystkie nawiasy według mnie.

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 3 gru 2015, o 19:56

Nie ma wszystkich nawiasów, bo powinno być \(\displaystyle{ n\cdot (pochodna )\log(x_{1}x_{2}...x_{n}).}\)

oo21o · Post autor: **oo21o** » 3 gru 2015, o 23:26

Wybacz ale nadal nie widzę brakujących nawiasów, bardzo bym Cie prosił żebyś napisał całą 5 linijkę jak powinna wyglądać.

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 4 gru 2015, o 09:36

A znasz wzór na pochodną iloczynu funkcji \(\displaystyle{ f(\Theta)\cdot g(\Theta)?}\)-- 5 gru 2015, o 11:34 --\(\displaystyle{ (\ln L(\theta))' = n\cdot \frac{\theta +1}{\theta +2}\frac{-1}{(\theta+1)^{2}}\cdot \frac{1}{\theta+1}\ln(x_{1}...x_{n})+ n\ln\left(\frac{\theta +2}{\theta +1}\right)\cdot \left(\frac{-1}{(\theta+1)^{2}}\right) \ln(x_{1}...x_{n}).}\)

Porównując do zera

\(\displaystyle{ \frac{-n}{(\theta+1)^{2}}\ln(x_{1}...x_{n})\left( \frac{1}{\theta+2}+ \ln\left(\frac{\theta+2}{\theta +1}\right) \right) =0.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \frac{\theta +2}{\theta +1}= e ^{-\frac{1}{\theta +2}}.}\)

Estymatorem parametru \(\displaystyle{ \theta}\) jest statystyka

\(\displaystyle{ \hat{g}(\Theta)= e ^{-\frac{1}{\Theta +2}}.}\)

oo21o · Post autor: **oo21o** » 6 gru 2015, o 18:06

A czy mógłbyś mi wytłumaczyć jak doszedłeś do takiej postaci :
\(\displaystyle{ \frac{\theta +2}{\theta +1}= e ^{-\frac{1}{\theta +2}}}\)

?
Znaczy wiem że to jest przemnożone przez \(\displaystyle{ e^{(...)}}\) tylko nie wiem dlaczego pominąłeś wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{-n}{(\theta+1)^{2}}\ln(x_{1}...x_{n})}\).

Bardzo Ci dziękuję za pomoc.