Statystyka pozycyjna jest dostateczna

[musialmi]

Niech \(\displaystyle{ h}\) będzie dodatnią funkcją całkowalną na \(\displaystyle{ \RR_+}\) i niech \(\displaystyle{ f(x,\theta)}\) będzie gęstością określoną wzorem \(\displaystyle{ f(x,\theta)=c(\theta)h(x)\mathbb{I}_{(0,\theta)}(x)}\). Niech \(\displaystyle{ X=(X_1,\ldots,X_n)}\) będzie próbą z rozkładu o gęstości \(\displaystyle{ f}\). Udowodnij, korzystając z kryterium faktoryzacji, że \(\displaystyle{ n}\)-ta statystyka pozycyjna \(\displaystyle{ X_{(n)}}\) jest dostateczna dla parametru \(\displaystyle{ \theta}\).

No to zaczynamy - pokażemy, że postać będzie odpowiednia.
\(\displaystyle{ p(x)=\prod_{j=1}^n c(\theta) h(x_j) \mathbb{I}_{(0,\theta)}(x_j)=c^n(\theta) \prod_{j=1}^n h(x_j) \mathbb{I}_{(0,\theta)}(x_j)}\)
I co dalej? \(\displaystyle{ \mathbb{I}}\) to indykator zbioru.

[norwimaj]

\(\displaystyle{ \prod_{j=1}^n \mathbb{I}_{(0,\theta)}(x_j)=\mathbb{I}_{(0,\theta)}(\max(\{x_1,\ldots,x_n\}))}\)

[musialmi]

A, no tak. Czyli \(\displaystyle{ c^n(\theta) \prod_{j=1}^n h(x_j) \mathbb{I}_{(0,\theta)}(x_j)=c^n(\theta) \mathbb{I}_{(0,\theta)}(\max x_j) \prod_{j=1}^n h(x_j)}\), tak?
Zatem funkcją zależną od parametru i od statystyki dostatecznej jest \(\displaystyle{ g_\theta (\max x_j)=c^n(\theta) \mathbb{I}_{(0,\theta)}(\max x_j)}\), natomiast niezależną od parametru i dodatnią jest \(\displaystyle{ H(X)=\prod_{j=1}^n h(x_j)}\). Wszystko w porządku?
Ja tu mam rozwiązanie, w którym wszystko jest przemnożone przez indykator zbioru \(\displaystyle{ \RR_+}\) na argumencie \(\displaystyle{ \max x_j}\). Czy to jest potrzebne? I dlaczego ktoś to napisał (i wliczył do funkcji \(\displaystyle{ H}\))?

[norwimaj]

Czy kryterium faktoryzacji wymaga, aby obie funkcje były mierzalne, albo coś podobnego? Nie orientuję się dobrze w tych niuansach, ale myślę, że o to może chodzić.

[musialmi]

\(\displaystyle{ H}\) jest tylko nieujemna i niezależąca od parametru, natomiast \(\displaystyle{ g}\) ma być mierzalna.

[Kartezjusz]

Właśnie. \(\displaystyle{ H}\)jest nieujemna i całkowalna na dodatnich argumentach, a co jak wszystkie wylosują się ujemne?

[musialmi]

Ale nie mogą, bo gęstość \(\displaystyle{ X}\)-ów przyjmuje wartości tych dla argumentów dodatnich. Z drugiej strony, nie jest napisane, że \(\displaystyle{ c}\) jest dodatnie...

[norwimaj]

Po przemyśleniu sprawy jestem zdania, że założenie nieujemności wystarczy dla jednego z czynników (wszystko jedno, którego). Skoro iloczyn jest nieujemny, to drugi czynnik też, chyba że pierwszy jest równy \(\displaystyle{ 0.}\) Analogicznie założenie mierzalności wystarczy dla jednego z czynników.

\(\displaystyle{ H}\) jest tylko nieujemna i niezależąca od parametru, natomiast \(\displaystyle{ g}\) ma być mierzalna.

Jeśli do takich założeń masz się dostosować, to powinieneś poprawić funkcję \(\displaystyle{ H,}\) żeby była nieujemna.