Mamy jakąś tam próbkę (nieistotne). Metodą największej wiarygodności wyznaczyć parametry \(\displaystyle{ m}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) w rozkładzie Laplace'a, którego gęstość dana jest wzorem:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2b}exp\left( -\frac{\left| x-m\right|}{b} \right)}\),
przy czym \(\displaystyle{ m \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ b>0}\).
Dla parametru \(\displaystyle{ b}\) policzyłem według standardowej procedury, czyli pochodna ma się zerować:
\(\displaystyle{ \hat{b}=\frac{ \sum_{i=1}^{n}\left| x _{i} - m\right| }{n}}\)
Natomiast mam problem dla \(\displaystyle{ m}\). Pytałem ćwiczeniowca, który powiedział, że mediana tej próbki, to estymator tego \(\displaystyle{ m}\).
Czy poprawny jest zapis:
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial m}= -\frac{1}{b} \frac{\partial \sum \left| x _{i} - m\right| }{\partial m}= -\frac{1}{b} \sum_{i=1}^{n} \sgn (x _{i}-m) = f(m)}\)
Teraz jak policzyć minimum \(\displaystyle{ f}\)?
Czy z zapisu \(\displaystyle{ -\frac{ \sum_{i=1}^{n} \sgn (x _{i}-m)}{b}=f(m)}\) wynika, że - skoro suma modułów jest \(\displaystyle{ \ge 0}\) - to suma musi być maksymalna, aby z minusem przed wszystkim dała minimum czyli, \(\displaystyle{ \forall _{i} x _{i} \ge m}\)?
Jak to ugryźć?