Rozkład statystyki

[musialmi]

Niech \(\displaystyle{ X=(X_1, \ldots, X_n)}\) będzie próbą z rozkładu normalnego standardowego. Wyznacz rozkład statystyki \(\displaystyle{ T(X)=\sum_{i=1}^n X_i^2}\).

Wydaje mi się, że pchnąłem do przodu to zadanie, bo wyznaczyłem dystrybuantę \(\displaystyle{ X_i^2}\). Niech \(\displaystyle{ F_X(t)=\Phi (t)}\) oznacza dystrybuantę rozkładu normalnego standardowego. Wtedy \(\displaystyle{ F_{X_i}(t)=P(X_i^2 < t)=2 \Phi (\sqrt t)-1}\). No i powstają pytania:
1. Czy to jest rozkład normalny i jak to sprawdzić?
2. Co dalej, by zrobić zadanie?

[szw1710]

Jeśli te zmienne są niezależne, to \(\displaystyle{ T}\) ma rozkład chi-kwadrat o \(\displaystyle{ n}\) stopniach swobody. Ponieważ to jest próba, zmienne z założenia są niezależne.

Popatrz na funkcję gęstości rozkładu chi-kwadrat i idź w tym kierunku. Obecnie nie ma potrzeby robić zadań od zera. Wiadomo co to jest rozkład chi-kwadrat. A jeśli już wiesz, zawsze to jakoś sprawdzisz.

[musialmi]

Te zmienne losowe są niezależne, bo \(\displaystyle{ X}\) jest próbą. Wiadomo co to jest rozkład chi-kwadrat, ale nie mnie - to zadanie robimy bez takiej wiedzy Więc zdecydowanie jest tutaj potrzeba robić zadanie od zera.

[szw1710]

To przynajmniej wiesz co ma wyjść.

[musialmi]

Haha, nie, nie wiem, bo nie czytałem nic o tym kwadracie. Ale, mówiąc szczerze, metoda rozwiązania jest dla mnie znacznie, znacznie ważniejsza niż wynik

[szw1710]

Dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ X_i^2}\) masz dobrze dla \(\displaystyle{ t\ge 0}\). Zauważ, że dla \(\displaystyle{ t<0}\) jest zerowa. Cóż to znaczy, że \(\displaystyle{ X_i^2<t}\) przy \(\displaystyle{ t<0}\)?

Teraz możesz zbadać niezależność kwadratów. Na dystrybuanty sum niezależnych zmiennych losowych są wzory. Ale wyznaczanie splotów do najłatwiejszych nie należy. Próbowałbym z funkcjami charakterystycznymi.