wartość oczekiwana iloczynu zmiennych losowych

[blazejpop]

Cześć

Mam pytanie jak obliczyć tę wartość oczekiwaną wiedząc, że X ~ Poiss(A).

\(\displaystyle{ E( X^{4} ) = ?}\)

Z wariancji: \(\displaystyle{ Var(X) = E(X^{2}) - (EX)^{2}}\)

\(\displaystyle{ Var(X^2) = EX^4 - (EX^2)^2}\)
\(\displaystyle{ EX^4 = (EX^2)^2 + VarX^2 = [VarX + (EX)^2]^2 + VarX^2}\)

Co dalej z \(\displaystyle{ Var X^2}\) ?

[janusz47]

Z własności oczekiwanej:

\(\displaystyle{ E(X^{4})= (E(X))^{4}}\) (1)

Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie
\(\displaystyle{ X \sim Poiss(A)}\)
wynosi
\(\displaystyle{ E(X) = A}\) (2)

Z (2) i (1)

\(\displaystyle{ E(X^{4}) = A^{4}.}\)

[blazejpop]

Twoje rozwiązanie dla przykładowego rozkładu z wartością oczekiwaną A = 7.3 da wynik 2839.8241, natomiast wolframalpha daje wynik 5554.26.

Wydaje mi się, że twoje podejście jest dobre jedynie w przypadku niezależności zmiennych. Tutaj nie ma o tym mowy.

[Medea 2]

W takim razie czemu nie użyć klasycznych narzędzi? Funkcja \(\displaystyle{ \varphi(x) = x^4}\) jest borelowska, zatem \(\displaystyle{ \textstyle \mathcal E(X^4) = \int_{\RR} x^4 \mu_X (\textrm{d}x)}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) to zmienna o rozkładzie Poissona. Późna pora nigdy nie sprzyjała mi w rachunkach, ale być może policzyłam to dobrze. Otrzymałam wynik \(\displaystyle{ a^4+6a^3 + 7a^2+a}\) i odniosłam wrażenie, że gdzieś tutaj zakamuflowane są liczby Stirlinga.

[liu]

Swoją drogą to, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}(XY) = \mathbb{E}X\cdot \mathbb{E}Y}\) to jest jakiś probabilistyczny analogon faktu, że \(\displaystyle{ (x+y)^2 = x^2 + y^2}\)

[blazejpop]

18-letnie dziewczę z Koryntu pomaga ludziom rozwiązywać problemy matematyczne. Zaiste zadziwiająco niespójne z legendami o dziewczętach z tegoż miasta.

Można też spróbować z definicji i liczyć szeregi, które dadzą wynik zgodny z tym co uzyskała Medea 2, niestety zdążyłem już zapomnieć jak takie szeregi się liczy.

Twojego sposobu nie znam. Czy \(\displaystyle{ \mu_X}\) to któryś moment?

Domyślam się, że nie będzie ci się chciało wypisywać tutaj elaboratów na ten temat, dlatego proszę o jakieś źródło, które mogłoby mnie naprowadzić na rozwiązanie.

[Medea 2]

Chociaż jestem kapłanką Hekate, bogini ciemności, to w mroku nie myślę najlepiej. Mea culpa! Zamiast zajmować się matematunią, powinnam wrócić do nieudanych prób otrucia i mordowania dzieci.

Rzeczywiście, dopiero dzisiaj uświadomiłam sobie, że rozkład Poissona jest dyskretny, więc całka, którą napisałam, jest trochę nad wyraz. Wydawało mi się, że oznaczenie to jest standardowe: \(\displaystyle{ \mu_X}\) to rozkład prawdopodobieństwa zmiennej \(\displaystyle{ X}\).

Wszystko i tak sprowadza się do policzenia sumy szeregu. Pokażę, jak zacząć, dalej pewnie dasz sobie radę.

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty X^4 P(X = k) = \sum_{k=0}^\infty k^3 \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{(k-1)!}}\)

\(\displaystyle{ \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} [(k-1)(k-2)(k-3) + 6 (k-1)(k-2) + 7(k-1) + 1]}\)

Rozbijamy na cztery szeregi, z których każdy jest już elementarny (trzeba skrócić coś z silnią i wyciągnąć jakąś potęgę \(\displaystyle{ \lambda}\) przed szereg). Wydaje mi się, że z kombinatorycznym arsenałem ten szereg byłby łatwiejszy, ale lekturę Matematyki konkretnej mam dopiero w planach, tam powinny być wszystkie potrzebne informacje.

[blazejpop]

Wszystkie wątpliwości zostały rozwiane. Kłaniam się.

PS
We wszystkich wykładach, książkach o tematyce statystycznej jakie było mi dane przejrzeć funkcja gęstości oznaczana była jako \(\displaystyle{ f(x)}\) (ewentualnie \(\displaystyle{ P(X = x))}\), natomiast \(\displaystyle{ \mu}\) zarezerwowane było dla momentów. Centralnych bodajże.

[liu]

Hm, jeśli zmienna losowa ma gęstość, to \(\displaystyle{ P(X=x)=0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) (całka po zbiorze jednoelementowym jest zawsze 0), więc to mało szczęśliwe oznaczenie;)

Oznaczenia o których mówisz są typowe dla podręczników statystyki/rachunku prawdopodobieństwa dla niematematyków.

Medea, \(\displaystyle{ \mu_X (A) = \mathbb{P}(X\in A)}\) (dla borelowskich \(\displaystyle{ A\subset\mathbb{R}}\)) to zupełnie standardowe oznaczenie rozkładu zmiennej losowej.

[blazejpop]

Dziękuję za poprawkę liu, rzeczywiście jeżeli rozkład jest ciągły w jednym wymiarze to prawdopodobieństwo trafienia w punkt jest zerowe.

Usprawiedliwiam się - jestem "niematematykiem".

[liu]

Można też trochę inaczej:
Funkcja tworząca momenty zmiennej losowej \(\displaystyle{ X \sim \mathrm{Poiss}(\lambda)}\) to
\(\displaystyle{ M_X(t) = \exp(\lambda(e^t - 1))}\),
zatem \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X^4) = \frac{d^4}{dt^4} M_X(t)|_{t=0}}\), więc po dostatecznie długim różniczkowaniu dostajemy to, co chcemy (można sobie pomóc Wolframem);)

Wyprowadzenie wzoru na \(\displaystyle{ M_X(t)}\) jest dość proste:
\(\displaystyle{ M_X(t) = \mathbb{E}(e^{tX}) = \sum_{k=0}^{\infty} e^{tk} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{{(e^t\lambda)}^k}{k!} = e^{-\lambda} e^{\lambda e^t} = \exp(\lambda(e^t - 1))}\).

Z tego możemy otrzymać wszystkie momenty, pod warunkiem, że mamy do dyspozycji pracownika umysłowego lubiącego różniczkować, bądź dowolny program komputerowy;) I unikamy tutaj kombinatoryki.