Zrozumieć średnia harmoniczną

t-o-m · Post autor: **t-o-m** » 23 lip 2015, o 22:37

Z tego co przeczytałem wynika, że średnia harmoniczna ma zastosowanie wtedy kiedy mamy dane w jednostce względnej - np podana jest gęstość zaludnienia w osobach na jeden km^2. Mam jednak takie zadanie:

Jest sobie mieszarka a w niej są trzy składniki: A, B i C. W mieszarce umieszczono 20 KG składnika A, 25 KG składnika B i 5 KG składnika C. Składnik A kosztuje 15 PLN / KG, składnik B 20 PLN / KG a składnik C 30 PLN / kg. Mam obliczyć cenę za jeden KG zmieszanej substancji.

Próbowałem skorzystać ze wzoru na średnią harmoniczną ważoną wychodząc z założenia, że skoro dane są podane w formie względnej to akurat ten wzór trzeba wykorzystać.

\(\displaystyle{ \frac{20+25+5}{ \frac{20}{15} + \frac{25}{20} + \frac{5}{30} } \approx 18,18}\)

Prawidłowy wynik to 19, więc średnia obliczona za pomocą powyższego wzoru jest nieprawidłowa. To jak to w końcu jest z tą średnią harmoniczną i kiedy ją właściwie należy stosować?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 23 lip 2015, o 23:12

Do takich zadań trzeba podejść nie od strony pamięciowej, ale trochę "na chłopski rozum". Powiedzmy, że mieszanka ma \(\displaystyle{ n}\) składników w proporcjach \(\displaystyle{ k_1,\dots,k_n}\) kg oraz cenach \(\displaystyle{ p_1,\dots,p_n}\) złotych za kilogram. Zawsze trzeba poszukać czegoś wspólnego. Popatrz: do mieszarki wrzucono \(\displaystyle{ k=k_1+\dots+k_n}\) kg składników. Ile za nią zapłacono? Więc jaka jest cena kilograma? I jaka to średnia? Celowo proponuję użycie liter.

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 23 lip 2015, o 23:12

Nie ma czegoś takiego jak odpowiedź na pytanie, kiedy używać średniej harmonicznej. Niestety, ale będziesz to wiedział dopiero wtedy, kiedy już ją rozpiszesz.

W podanym przez Ciebie przykładem przydaje się bardziej średnia ważona: wagi u Ciebie to \(\displaystyle{ 20, 25, 5}\), zaś wartości to \(\displaystyle{ 15, 20, 30}\).

Odpowiedź to \(\displaystyle{ \frac{20 \cdot 15+ 25 \cdot 20+5 \cdot 30}{20 + 25 + 5} = \dots}\)