prawdopodobieństwo a średnia i odchylenie

[kluczyk]

Zawały serca w pojazdach komunikacji miejskiej są bardzo rzadkie (średnio około 10,4 na rok przy odchyleniu standardowym 0,1) lecz notuje się dużą ich ilość - proszę określić prawdopodobieństwo wystąpienia 5 zawałów w roku

[SlotaWoj]

Na wstępie uwaga ogólna. Niektórzy układacze tematów zadań podają w nich informacje, które z merytorycznego punktu widzenia są zbędne, a utrudniają zrozumienie tematu zadania lub po prostu denerwują. Tu przykładem są fragmenty: zawały są bardzo rzadkie i notuje się dużą ich ilość.

Ponieważ nie ma informacji co do charakteru rozkładu częstości wystąpienia zawałów należy przyjąć, że jest to rozkład normalny.
Rozkład ten jest ciągły i z jego dystrybuanty można wyliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia np. takiego: \(\displaystyle{ x\le7,5}\) gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą zawałów w ciągu roku. Tylko co to oznacza że w danym roku odnotowano \(\displaystyle{ 7,5}\) zawału. Czy było tak, że jeden zawał był ok. północy w noc sylwestrową i pół zawału przypisano staremu rokowi, a drugie pół nowemu?

Ponieważ statystyka przedstawia uśrednione dane wieloletnie więc w tym zadaniu zamiast obliczać prawdopodobieństwo zdarzenia: w roku wystąpi pięć zawałów (dla rozkładu ciągłego to prawdopodobieństwo jest równe zero) należy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: co najmniej \(\displaystyle{ 4,5}\) zawału, ale nie więcej niż \(\displaystyle{ 5,5}\) zawałów. Będzie to pewna forma zastąpienia rozkładu ciągłego rozkładem dyskretnym. Wówczas takie prawdopodobieństwo będzie równe:

• \(\displaystyle{ P(4,5\le x<5,5)=F(5,5)-F(4,5)}\)

gdzie \(\displaystyle{ F(x)}\) jest dystrybuantą rozkładu normalnego.

Dystrybuanta zestandaryzowanego rozkładu normalnego, tzn. rozkładu o średniej \(\displaystyle{ \mu=0}\) i odchyleniu standardowym \(\displaystyle{ \sigma=1}\), oznaczana \(\displaystyle{ \Phi(x)}\) jest stablicowana, a standaryzacja tego rozkładu polega na zastosowaniu podstawienia: \(\displaystyle{ Z=\frac{X-\mu}{\sigma}}\) i wtedy:

• \(\displaystyle{ P(4,5\le x<5,5)=\Phi\left(\frac{5,5-10,4}{0,1}\right)-\Phi\left(\frac{5,5-10,4}{0,1}\right)}\)