Zbiory \(\displaystyle{ x,y}\) wyników opisano następującą zależnością:
\(\displaystyle{ y= {a_1} \cdot x^2 + \frac{a_{2}}{x^2}}\)
stosującej metodę sumy najmniejszej sumy kwadratów wyprowadź wzór na stałe \(\displaystyle{ a_1}\) oraz \(\displaystyle{ a_2}\)
Mógłby mi ktoś pomóc i wytłumaczyć jak rozwiązywać tego typu zadania?
Suma najmniejszych kwadratów
-
fafner
- Użytkownik
- Posty: 198
- Rejestracja: 11 sty 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: rumia
- Podziękował: 25 razy
- Pomógł: 9 razy
Suma najmniejszych kwadratów
W metodzie najmniejszych kwadratów jak sama nazwa wskazuje chodzi o to, aby dobrać takie współczynniki równania, aby suma kwadratów odchyleń \(\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^n\epsilon_i^2=\sum\limits_{i=1}^n(\hat{Y}_i-Y_i)}\) była jak najmniejsza. Z racji tego, że ta suma jest funkcją współczynników a nie danych(dane są deterministyczne, zakładamy, że są znane), możemy policzyć minimum tej funkcji licząc pochodne i przyrównując do zera
\(\displaystyle{ f(a_1,a_2)=\sum\limits_{i=1}^n(y_i-{a_1} \cdot x_i^2 + \frac{a_{2}}{x_i^2})^2 \\ \\
\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial a_1}=2 \sum\limits_{i=1}^n x_i^2(y_i-{a_1} \cdot x_i^2 + \frac{a_{2}}{x_i^2})=0 \\ \frac{\partial f}{\partial a_2}=2 \sum\limits_{i=1}^n x_i^{-2}(y_i-{a_1} \cdot x_i^2 + \frac{a_{2}}{x_i^2})=0 \end{cases}}\)
Z tego układu równań wyznaczasz współczynniki \(\displaystyle{ a_1, a_2}\) traktując wszystkie \(\displaystyle{ x_i y_i}\) jako znane liczby. Podopowiem, że z pierwszego równania można najpierw wyznaczyć \(\displaystyle{ a_2}\)
\(\displaystyle{ a_2=\frac{\sum a_1 x_i^4-x_i^2y_i}{n} \ \ \heartsuit}\)
podstawiasz \(\displaystyle{ a_2}\) do drugiego równania, wyznaczasz \(\displaystyle{ a_1}\), podstawiasz \(\displaystyle{ a_1}\) do \(\displaystyle{ \heartsuit}\) i tyle.
\(\displaystyle{ f(a_1,a_2)=\sum\limits_{i=1}^n(y_i-{a_1} \cdot x_i^2 + \frac{a_{2}}{x_i^2})^2 \\ \\
\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial a_1}=2 \sum\limits_{i=1}^n x_i^2(y_i-{a_1} \cdot x_i^2 + \frac{a_{2}}{x_i^2})=0 \\ \frac{\partial f}{\partial a_2}=2 \sum\limits_{i=1}^n x_i^{-2}(y_i-{a_1} \cdot x_i^2 + \frac{a_{2}}{x_i^2})=0 \end{cases}}\)
Z tego układu równań wyznaczasz współczynniki \(\displaystyle{ a_1, a_2}\) traktując wszystkie \(\displaystyle{ x_i y_i}\) jako znane liczby. Podopowiem, że z pierwszego równania można najpierw wyznaczyć \(\displaystyle{ a_2}\)
\(\displaystyle{ a_2=\frac{\sum a_1 x_i^4-x_i^2y_i}{n} \ \ \heartsuit}\)
podstawiasz \(\displaystyle{ a_2}\) do drugiego równania, wyznaczasz \(\displaystyle{ a_1}\), podstawiasz \(\displaystyle{ a_1}\) do \(\displaystyle{ \heartsuit}\) i tyle.