\(\displaystyle{ X_{1}, ..., X_{20}}\) jest próbą losową z rozkładu o średniej \(\displaystyle{ \mu}\) i wariancji \(\displaystyle{ 16\sigma^2}\), \(\displaystyle{ \mu > 0, \sigma > 0}\) są nieznane.
Wyznacz c tak, aby estymator \(\displaystyle{ \hat{\sigma}^{2}=c \sum_{}^{20}( x_{i} - \overline{x} )^2}\) był nieobciążonym estymatorem \(\displaystyle{ \sigma^{2}}\).
Czy poniższe rozwiązanie jest poprawne?
\(\displaystyle{ \\ E(x^{2}_{i}) = Var(X) + (EX)^{2} = 16\sigma^2 + \mu^{2}
\\ E(\hat{\sigma}^{2}) = E(c \sum_{}^{20}( x_{i} - \overline{x} )^2) = cE(\sum_{}^{20}( x_{i} - \overline{x} )^2) = c\sum_{}^{20}E( x_{i} - \overline{x} )^2 =
\\ c( \sum_{}^{20}E(x^{2}_{i})-2 \overline{x}\sum_{}^{20} E(x_{i}) + \sum_{}^{20}\overline{x}^2 ) = c[20 \cdot (16\sigma^2 + \mu^{2}) - 20 \cdot 2\mu^{2} + 20 \mu^{2}]=c \cdot 320\sigma^2
\\ Nieobciazony:
\\ c \cdot 320\sigma^2 = \sigma^2
\\ c \cdot 320 = 1
\\ c = 1/320}\)
Proszę o sprawdzenie bo wydaje mi się, że nie jest to dobrze zrobione.
Pozdrawiam