Niezbędna ilość próby

[Kaooa]

Firma marketingowa zamierza zbadać dochody ludności pewnej gminy. Na podstawie 11-elementowej próby wstępnej stwierdzono, że odchylenie standardowe na jednego mieszkańca wynosi 209,4 zł. Oszacować niezbędną wielkość próby dla maksymalnego dopuszczalnego błędu szacunku 10 zł i poziomu ufności 0,95 zł.

X - dochody ludności gminy
Pop. gen - mieszkańcy gminy
Jedn. stat. - mieszkaniec gminy
X - rozkład normalny
\(\displaystyle{ \sigma^{2} - wariancja}\)
n = 11
d = 10
S = 209,4
\(\displaystyle{ \alpha = 0,05}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \alpha }{2} = 0,025}\)

\(\displaystyle{ t_{0,975;10} = 2,228}\)

\(\displaystyle{ n= \frac{ 2,228^{2} \cdot 209,4^{2} \cdot \frac{11}{10} }{ 10^{2} } = 2394,29}\)


Pytania:
1. Dlaczego prowadzący uznał, że wariancja populacji generalnej jest nieznana skoro mamy podane odchylenie standardowe (209,4)?

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ \newrgbcolor{darkgreen}{0 0.5 0}{\darkgreen{N}}=\frac{2,228^2\mbox{·}209,4^2{\red{\mbox{·}\frac{11}{10}}}}{10^2} = 2394,29\quad {\white{\mbox{.}}}}\) oznaczyłem niezbędną liczbę prób wielką literą, aby nie było niejasności. (SlotaWoj)

Zaznaczony ułamek nie jest potrzebny. Wystarczy, że \(\displaystyle{ t_{0,975;10}}\) jest dla \(\displaystyle{ n-1}\) stopni swobody. Poprawna wartość niezbędnej liczebności próby to \(\displaystyle{ 2176,90}\).

Odpowiedź na pytanie: \(\displaystyle{ S}\) jest odchyleniem standardowym próby (jest obarczone błędem), a nie populacji i dlatego posługujemy się rozkładem t-Studenta. Gdyby \(\displaystyle{ \sigma}\) było znane, można by posłużyć się rozkładem normalnym.

[Kaooa]

Już znalazłem odpowiedź i wszystko się zgadza ponieważ we wzorze ogólnym jest użyte \(\displaystyle{ S^{2}}\) z *

A wzór na to to: \(\displaystyle{ S_{*} = S^{2} \cdot \frac{n}{n-1}}\)

I tu należy wykonać działanie z \(\displaystyle{ \frac{11}{10}}\), a to co napisałem to jeszcze nie wykonana ta operacja.

[SlotaWoj]

Ponieważ próbka wstępna jest mało liczna więc jest zrozumiałe, że:

• \(\displaystyle{ S=\sqrt{\frac{\sum_{i}(X_i-\overline{X})^2}{n-1}}}\)

bo jest to pierwiastek z nieobciążonego estymatora wariancji i tu stosowanie dodatkowych oznaczeń w rodzaju gwiazdek lub daszków nie jest potrzebne (użycie ich niezbędne w rozważaniach teoretycznych)
W związku z tym nie ma potrzeby przeliczania odchylenia standardowego.

Innymi słowy: już jest \(\displaystyle{ S_*^2=209,4^2}\).