Estymacja przedziałowa wartości oczekiwanej

[leszczu450]

Cześć!

Zadanie:

Z jakim prawdopodobieństwem oczekiwać można, że przedział liczbowy \(\displaystyle{ \left[ 52,8 \% \ ; \ 67,2 \% \right]}\) będzie jednym z wielu, które określą odsetek studentów uczęszczających na wykłady profesora, jeżeli na losowo wybranym wykładzie prowadzonym przez tego profesora w zeszłym semestrze stwierdzono obecność \(\displaystyle{ 303}\) studentów z \(\displaystyle{ 500}\) zapisanych?

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ X}\)- zmienna losowa o rozkładzie dwupunktowym( \(\displaystyle{ 1}\)- chodzi na wykład, \(\displaystyle{ 0}\)- nie chodzi).

\(\displaystyle{ \overline{X}=0,606}\)
\(\displaystyle{ \overline{s} = \sqrt{\overline{X} \left( 1- \overline{X} \right) }= \sqrt{ \frac{303}{500} \cdot \frac{197}{500} } \approx 0,4886}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{n}= \sqrt{500} \approx 22,3607}\)

Jako, że mamy do czynienia z dużą próbą o rozkładzie innym niż normalny, to stosuje następujący wzór na estymacje średniej:

\(\displaystyle{ \left[\underline{p}, \overline{p} \right]=\left[ \overline{X} - \Phi^{-1} \left( 1- \frac{\alpha}{2} \right) \frac{\overline{s}}{ \sqrt{n} } \ ; \ \overline{X} + \Phi^{-1} \left( 1- \frac{\alpha}{2} \right) \frac{\overline{s}}{ \sqrt{n} } \right]}\)

Czyli zadanie sprowadza się do znalezienia \(\displaystyle{ \alpha}\) zgadza się?

Więc przyrównuje:

\(\displaystyle{ \left[ 0,528 \ ; \ 0,672\right]= \left[ \overline{X} - \Phi^{-1} \left( 1- \frac{\alpha}{2} \right) \frac{\overline{s}}{ \sqrt{n} } \ ; \ \overline{X} + \Phi^{-1} \left( 1- \frac{\alpha}{2} \right) \frac{\overline{s}}{ \sqrt{n} } \right]}\)

Więc przyrównuje:

\(\displaystyle{ 0,528 = 0,606 - \Phi^{-1} \left( 1- \frac{\alpha}{2} \right) \frac{0,4886}{22,3607} \\ 0,606 -0,528 = \Phi^{-1} \left( 1- \frac{\alpha}{2} \right) \cdot 0,0219 \\ 0,078 = \Phi^{-1} \left( 1- \frac{\alpha}{2} \right) \cdot 0,0219 \\ \Phi^{-1} \left( 1- \frac{\alpha}{2} \right) \approx 3,5616 \\ 1- \frac{\alpha}{2} \approx \Phi \left( 3,5616 \right) \\ 1- \frac{\alpha}{2} \approx 0,99981 \\ \alpha \approx 0,00038}\)

Czy o to tutaj chodzi?

Z góry dzięki!

[janusz47]

Z definicji przedziału ufnosci
\(\displaystyle{ Pr( T_{1}< \theta<T_{2})= 1-\alpha}\) dla każdego \(\displaystyle{ \theta\in \Theta.}\)