Metoda największej wiarygodności

[miecczybyc]

Metodą NW wyznaczyć estymator parametru \(\displaystyle{ \theta \in (0, \infty)}\), gdy badana cecha ma rozkład z funkcją gęstości:
\(\displaystyle{ f(x, \theta) = \frac{3x^{2}}{\theta} e^{\frac{-x^{3}}{\theta}}I_{(0, \infty)(x)}\)

Na początku zrobiłam tak:
\(\displaystyle{ L(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}, \theta) = \frac{3x_{1}^2}{\theta} e^{\frac{-x_{1}^3}{\theta}} \cdot ... \cdot \frac{3x_{n}^2}{\theta} e^{\frac{-x_{n}^3}{\theta}} = \frac{3x_{n}^2}{\theta} e^{\frac{-x_{1}^3+...+x_{n}^3}{\theta}}}\)

Następnie:
\(\displaystyle{ ln L(X, \theta) = ln (3x^{n} - ln\theta + \frac{1}{\theta}(x_{1}^3+...+x_{n}^3)}\)

Jeśli coś jest nie tak, na tym etapie to proszę o pomoc i wskazówki. Nie wiem też, jak rozwiązać dalszą część zadania...

[mm34639]

\(\displaystyle{ \ln L(X,\theta)}\) nie jest równe tyle co napisałeś

Zapiszmy to inaczej
\(\displaystyle{ L(X,\theta)=\left(\frac{3}{\theta}\right)^n \, \cdot \left( \prod_{i=1}^n x_i^{\,2} \right) \, \cdot \, \textrm{e}^{-\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{x_i^{\, 3}}{\theta}}\right)}\)

teraz oblicz logarytm, pamiętając że logarytm iloczynu to suma logarytmów

później zróżniczkować po \(\displaystyle{ \theta}\), przyrównać do zera i gotowe (z dokładnością do upewnienia się czy to maksimum a nie minimum f. wiarygodności)

[miecczybyc]

A jak zweryfikować kiedy jest maksimum, a kiedy minimum ?

[mm34639]

licząc drugą pochodną w tym punkcie na przykład