rozkład normalny

[asasella]

Dzienny przychód sklepu ma wartość oczekiwaną 100 tyś złotych przy odchyleniu standardowym 20 tysięcy złotych. Jaka jest szansa, że w przypadkowo wybranym dniu przychód nie przekroczy 80 tyś złotych. Jaka jest szansa, że w dwóch (czterech) kolejnych dniach nie przekroczy on tej kwoty?

Proszę o pomoc.

[SlotaWoj]

Dzienny przychód sklepu jest zmienna losową \(\displaystyle{ X}\) o jakimś rozkładzie. Nie jest podane jaki to jest rozkład, więc coś trzeba założyć i można założyć, że jest to rozkład normalny.

Zapisujemy to tak:

• \(\displaystyle{ X\sim N(\mu;\sigma)}\)

gdzie parametry rozkładu:

• \(\displaystyle{ \mu}\) – wartość oczekiwana (średnia),
  \(\displaystyle{ \sigma}\) – odchylenie standardowe (pierwiastek z wariancji).

W dalszych rozważaniach posługujemy się zmienną losową \(\displaystyle{ Z=\frac{X-\mu}{\sigma}}\), która ma standardowy rozkład normalny \(\displaystyle{ N(0;1)}\), bo tylko dla takiego rozkładu zostały opracowane odpowiednie tablice.

Uwaga: Ponieważ rozkład normalny jest również oznaczany jako: \(\displaystyle{ N(\mu;\sigma^2)}\) należy unikać używania w takim zapisie konkretnych wartości liczbowych, bo w oderwaniu od tematu ww. zadania nie wiadomo czym w \(\displaystyle{ N(100;20)}\) jest drugi parametr.

Pytania typu: jaka jest szansa należy rozumieć tak: jakie jest prawdopodobieństwo i w tym duchu należy poszukiwać na nie odpowiedzi.

Odpowiedź na pierwsze pytanie sprowadza się do obliczenia:

• \(\displaystyle{ P\left(X\le80\right)}\)

co po standaryzacji jest równoważne:

• \(\displaystyle{ P\left(\frac{X-100}{20}\le\frac{80-100}{20}\right)=P\left(Z\le-1\right)=\Phi(-1)}\)

gdzie funkcja \(\displaystyle{ \Phi(z)}\) jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego i jest stablicowana (ew. zaimplementowana w różnych programach komputerowych, np. w Excelu).

Przed odpowiedzią na drugie pytanie należy założyć (bo nie jest to podane wprost), że dzienne przychody sklepu w kolejnych dniach są zmiennymi losowymi niezależnymi (patrz zdarzenia niezależne); tylko wtedy można odpowiedzieć na to pytanie.

Sądzę, że udzielone informacje są wystarczające do rozwiązania zadania.