Szacowanie odchylenia stand. w populacji generalnej.

[Belv]

Cześć.

Mam taki problem z dość prostym zadaniem. Nie wychodzi mi wynik zgodny z odpowiedziami i nie wiem gdzie leży błąd. Oto treść zadania:

Oszacuj zróżnicowanie (o rozkładzie normalnym) długości wstążki na podstawie próbki złożonej z 151 wstążek o wariancji 100cm, ze współczynnikiem ufności.

Co ciekawe znalazłem 3 różne wzory w internecie, bo nie mogłem uwierzyć, że robię coś źle.

Głównie opierałem się na tym

\(\displaystyle{ P\left( S-z _{ \alpha }* \frac{S}{ \sqrt{2n} }< \sigma < S+z _{ \alpha }* \frac{S}{ \sqrt{2n} }\right)=0,9}\)
\(\displaystyle{ P(9,06< \sigma <10,94)=0,9}\)

Znalazłem jeszcze coś takiego:

\(\displaystyle{ P\left( \frac{S}{1+ \frac{z _{ \alpha } }{ \sqrt{2n} } } < \sigma < \frac{S}{1- \frac{z _{ \alpha } }{ \sqrt{2n} } } \right)=0,9}\)
\(\displaystyle{ P(9,14 < \sigma < 11,04)=0,9}\)

Natomiast odpowiedź jest taka. Odchylenie standardowe długości wstążki na poziomie ufności 0,9 mieści się pomiędzy 8,87 cm a 11,13 cm.

[SlotaWoj]

Podane przez Ciebie wzory nie są równoważne (nie da się jednego z nich przekształcić w drugi).
Nie wiem skąd masz pierwszy wzór, ale wydaje mi się, że jest błędny (być może dotyczy on czegoś, o czym nie wiem). Gdyby nie było w mianowniku \(\displaystyle{ \sqrt{2n}}\) tylko \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\), byłby to wzór na przedział ufności dla średniej przy znanej wariancji.
Poprawny jest drugi wzór i uzyskany przez Ciebie wynik też. Jest to wzór na przedział ufności dla wariancji dla „dużej” próby. Wartości odchyłek od \(\displaystyle{ S}\) obliczone przy jego pomocy różnią się o mniej niż 0,5% od wartości odniesienia obliczonych przy pomocy rozkładu \(\displaystyle{ \chi^2}\) dla 150. stopni swobody (dla pierwszego wzoru jest to ok. 1,5%).
W podanym przez Ciebie wyniku z odpowiedzi dolna granica przedziału ufności jest ewidentnie błędna, bo analogiczna wartość odchyłki różni się od wartości odniesienia z rozkładu \(\displaystyle{ \chi^2}\) o ok. 3,6%.