Przedział ufności, rozkład jednostajny

[Lorein]

Hej, mam takie zadanie:

Niech \(\displaystyle{ X{1}, X{2}, ... , X{n}; n >1}\), będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ (0,\theta)}\), gdzie \(\displaystyle{ \theta>0}\) jest nieznanym parametrem. Korzystając z estymatora największej wiarogodności \(\displaystyle{ \Theta}\) parametru \(\displaystyle{ \theta}\) wyznacz przedział ufności dla parametru \(\displaystyle{ \theta}\) na poziomie ufności \(\displaystyle{ 1-\alpha}\) postaci \(\displaystyle{ [a\Theta,b\Theta]}\), gdzie a,b dobrane są tak by dla każdego \(\displaystyle{ \theta>0}\)
\(\displaystyle{ P(\theta<a\Theta)=P(\theta>b\Theta)= \frac{\alpha}{2}}\)

Zaczęłam następująco:
\(\displaystyle{ ENW=\Theta=X{max}=X{n}}\).
\(\displaystyle{ P(a\Theta<\theta<b\Theta)=1-\alpha}\).
I tutaj chciałam skorzystać z asymptotycznego przedziału ufności dla enw i porównać ze sobą przedziały jakie mi wyjdą, żeby wyliczyć a i b.
Wyliczam informację Fischera:
\(\displaystyle{ L(\theta)=( \frac{1}{\theta}) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ l(\theta)=-nlog\theta}\)
\(\displaystyle{ l''(\theta)= \frac{n}{\theta^{2}}=I{n}(\theta)}\)
Mój przedział ufności:
\(\displaystyle{ [X{n}-U{(1-\frac{\alpha}{2})} \frac{1}{ \sqrt{ \frac{n}{\theta^{2}} } };X{n}+U{(1-\frac{\alpha}{2})} \frac{1}{ \sqrt{ \frac{n}{\theta^{2}} }}]}\)
Z tego wynika, że :
\(\displaystyle{ X{n}-U{(1-\frac{\alpha}{2})} \frac{1}{ \sqrt{ \frac{n}{\theta^{2}} } } = a\Theta}\)
\(\displaystyle{ X{n}+U{(1-\frac{\alpha}{2})} \frac{1}{ \sqrt{ \frac{n}{\theta^{2}} }} = b\Theta}\)
I z tego wyliczam a i b.
Czy to jest poprawne rozumowanie... ?

Z góry dziękuję za pomoc!

[robertm19]

Tak rozumowanie ok. Korzystamy z asymptotycznej normalności estymatora najwiekszej wiarygodności.
Dużo tego typu zadań pojawia się na egzaminie aktuarialnym.