Jak udowodnić, że średnia geometryczna jest średnią potęgową stopnia 0?
Jak wykazać coś takiego:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0} M_{t}(a_{1},a_{2}, ...,a_{n})=\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot ...\cdot a_{n}}}\)??
Średnia potęgowa
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
Średnia potęgowa
\(\displaystyle{ S_k=\sum\limits^n_{i=1}a_i^k\\ \\ \lim_{k\to0}\sqrt[k]{\frac{S_k}{n}}=\lim_{k\to0}\left(1+\frac{S_k-n}{n}\right)^{\frac1k}=\lim_{k\to0}\left(\left(1+\frac{S_k-n}{n}\right)^{\frac{n}{S_k-n}\right)^{\frac1k\cdot\frac{S_k-n}{n}}=\exp\left(\lim_{k\to0}\frac1{kn}\cdot\left(-n+\sum\limits^n_{i=1}a_i^k\right)=}\)
\(\displaystyle{ =\exp\left(\frac1n\sum\limits^n_{i=1}\left(\lim_{k\to0}\frac{a_i^k-1}{k}\right)\right)=\exp\left(\frac1n\sum\limits^n_{i=1}\ln a_i\right)=\sqrt[n]{\prod\limits^n_{i=1}a_i}}\)
Jeśli któraś z równości nie jest zrozumiała, poproszę o zamieszczenie zapytania.
\(\displaystyle{ =\exp\left(\frac1n\sum\limits^n_{i=1}\left(\lim_{k\to0}\frac{a_i^k-1}{k}\right)\right)=\exp\left(\frac1n\sum\limits^n_{i=1}\ln a_i\right)=\sqrt[n]{\prod\limits^n_{i=1}a_i}}\)
Jeśli któraś z równości nie jest zrozumiała, poproszę o zamieszczenie zapytania.
Średnia potęgowa
Chromosom pisze:\(\displaystyle{ S_k=\sum\limits^n_{i=1}a_i^k\\ \\ \lim_{k\to0}\sqrt[k]{\frac{S_k}{n}}=\lim_{k\to0}\left(1+\frac{S_k-n}{n}\right)^{\frac1k}}\)
Skąd to wziołes?
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
Średnia potęgowa
\(\displaystyle{ \sqrt[k]{\frac{S_k}{n}}=\left(\frac{n+S_k-n}{n}\right)^\frac1k=\left(1+\frac{S_k-n}{n}\right)^\frac1k}\)
Jeśli przekształcenia nie są zrozumiałe, zadaj pytanie - wtedy wyjaśnię dokładniej.
Jeśli przekształcenia nie są zrozumiałe, zadaj pytanie - wtedy wyjaśnię dokładniej.