Witam mam problem z następującym zadaniem:
wektor losowy \(\displaystyle{ (\xi , \eta)}\) ma rozkład równomierny w trójkącie \(\displaystyle{ D=\left\{(x,y): 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1-x\right\}}\).
1. Obliczyć wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ (m_{\xi};m_{\eta})}\) wektora losowego \(\displaystyle{ (\xi , \eta)}\).
2. Obliczyć macierz wariancji-kowariancji \(\displaystyle{ D(\xi)}\) wektora \(\displaystyle{ (\xi , \eta)}\).
moje obliczenia:
\(\displaystyle{ D=\begin{cases} 0 \le x \le 1\\0 \le y \le 1-x\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} c &\text{dla } 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1-x\\0 &\text{w pozostałych przypadkach } \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 1=\int\limits_{- \infty }^{ \infty}[\int\limits_{- \infty }^{ \infty}f(x,y)dy]dx=\int\limits_{0}^{1}[\int\limits_{0}^{1-x}cdy]dx=c- \frac{c}{2}}\)
c=2
\(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} 2 &\text{dla } 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1-x\\0 &\text{w pozostałych przypadkach } \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f_{\xi}(x)=\int\limits_{- \infty }^{ \infty}f(x,y)dy=\int\limits_{0}^{1-x}2dy=2[y]_{0}^{1-x}=2 \cdot (1-x)}\)
\(\displaystyle{ f_{\xi}(x)=\begin{cases} 2 \cdot (1-x) &\text{dla } 0 \le x \le 1\\0 &\text{w pozostałych przypadkach } \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f_{\eta}(y)=\int\limits_{- \infty }^{ \infty}f(x,y)dx=\int\limits_{0}^{1}2dx=2[x]_{0}^{1}=2}\)
\(\displaystyle{ f_{\eta}(x)=\begin{cases} 2 &\text{dla } 0 \le y \le 1-x\\0 &\text{w pozostałych przypadkach } \end{cases}}\)
natomiast w książce o analizie statystycznej znalazłem takie rozwiązanie:
\(\displaystyle{ f_{\eta}(x)=\begin{cases} 2 \cdot (1-x) &\text{dla } 0 \le y \le 1\\0 &\text{w pozostałych przypadkach } \end{cases}}\)
niestety do podanego przykładu w książce nie pokazano obliczeń tylko gotowy wynik. Czy wie ktoś w jaki sposób należy dokonać przekształcenia tych nierówności, aby z uzyskanego przeze mnie wyniku uzyskać taki jak w książce? Z góry dziękuję za pomoc.