Wariancja dystrybuanty empirycznej

[leszczu450]

Cześć!

W internecie znalazłem podobne zadanie, ale nigdzie nie jest napisane, czy rozwiązanie jest poprawne. Proszę o sprawdzenie mojego rozwiązania.

Mam wyliczyć wartość oczekiwaną i wariancję dystrybuanty empirycznej.

Z wartością oczekiwaną nie mam żadnego problemu. Mianowicie:

\(\displaystyle{ \overline{F}_n \left( x \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \chi_{ \left( - \infty, x \right] } \left( X_i \right)}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}\overline{F}_n \left( x \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E} \chi_{ \left( - \infty, x \right] } \left( X_i \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\mathbb{P} \left( X_i \le x \right) = \frac{1}{n} \cdot \left(\mathbb{P} \left( X_1 \le x \right) + \ldots + \mathbb{P} \left( X_n \le x \right) \right)= \frac{1}{n} \cdot n \cdot \mathbb{P} \left( X_i \le x \right) = F \left( x \right)}\)

Co więcej, wiem, że dystrybuanta empiryczna ma rozkład dwumianowy(no prawie dwumianowy, bo przyjmuje wartości niecałkowite):

\(\displaystyle{ \mathbb{P} \left( \overline{F}_n \left( x \right) = \frac{k}{n} \right) = {n \choose k} F \left( x \right) ^k \left( 1-F \left( x \right) \right) ^{n-k}}\)

Stąd \(\displaystyle{ \overline{F}_n \sim \mathcal{B} \left( n,F \left( x \right) \right)}\)

Czyli inaczej zmienna \(\displaystyle{ n \overline{F}_n \sim \mathcal{B} \left( n,F \left( x \right) \right)}\)

Liczę teraz wariancję dystrybuanty empirycznej:

\(\displaystyle{ Var \left( \overline{F}_n \left( x \right) \right) = Var \left( \frac{1}{n} \cdot n \cdot \overline{F}_n \left( x \right) \right) = \frac{1}{n^2} \cdot Var \left( n \overline{F}_n \left( x \right) \right) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot F \left( x \right) \cdot \left( 1-F \left( x \right) \right)}\)

Czy wszystko jest ok?