Dystrybuanta empiryczna

[leszczu450]

Cześć!

Wiem. że borąc to coraz większą próbkę, dystrybunata empiryczna zbiega prawie na pewno do dystrybuanty teoretycznej. Jest to konsekwencją MPWL.

Następnie patrzę na twierdzenie Gliwienko-Cantelli.

Jeżeli \(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots}\) jest próbką z rozkładu o dystrybuancie \(\displaystyle{ F}\), to

\(\displaystyle{ \sup_{- \infty <x < + \infty} \left| \overline{F_n}(x) - F(x)\right| \to 0}\)

prawie na pewno.

Czym różni się zatem fakt o którym wspomniałem na początku od tego twierdzenia?

Z góry dziękuję za pomoc.

[janusz47]

Niczym się nie różni. Patrz drugą wersję twierdzenia Gliwenki-Cantellelli.
Na przykład w książce
Patrick Billingsley Prawdopodobieństwo i miara PWN Warszawa 1987.

[leszczu450]

janusz47, jak to niczym? A dlaczego to supremum po \(\displaystyle{ x}\)?

[janusz47]

\(\displaystyle{ \bigwedge x\in R, \lim_{n\to \infty}\sup\left| F_{n}(x, \omega)- F(x)\right|=0.}\)